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第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量的概念及其线性运算 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

习题7.1 5

第二节 向量的坐标表示 6

一、空间直角坐标系 6

二、向量在轴上的投影及投影定理 7

三、向量的坐标 9

习题7.2 15

第三节 向量的乘法 17

一、向量的数量积 17

二、向量的向量积 20

三、向量的混合积 23

习题7.3 25

第四节 空间曲面与空间曲线 26

一、曲面及其方程 26

二、空间曲线及其方程 32

三、二次曲面的截痕法 36

习题7.4 42

第五节 平面与直线方程 44

一、平面方程的各种形式 44

二、直线方程的各种形式 50

三、平面直线间夹角及相互位置关系 53

习题7.5 58

第八章 多元函数微分法及其应用 60

第一节 多元函数的概念 60

一、多元函数的定义 60

二、多元函数的极限与连续 66

习题8.1 70

第二节 偏导数与全微分 71

一、偏导数 71

二、全微分 78

习题8.2 84

第三节 多元函数微分法 85

一、复合函数微分法 85

二、隐函数微分法 92

习题8.3 97

第四节 多元函数微分法在几何上的应用 99

一、空间曲线的切线与法平面 99

二、曲面的切平面与法线 102

习题8.4 105

第五节 方向导数与梯度 106

一、方向导数 106

二、梯度 108

习题8.5 111

第六节 多元函数的极值与最值 112

一、多元函数的极值 112

二、多元函数的最值 114

三、条件极值 116

四、多元函数的泰勒公式及二元函数取极值充分条件的证明 120

习题8.6 125

第九章 重积分及其应用 126

第一节 二重积分的概念与性质 126

一、二重积分的概念 126

二、二重积分的性质 129

习题9.1 130

第二节 二重积分的计算法 131

一、二重积分在直角坐标系中的计算法 131

二、二重积分在极坐标系中的计算法 138

三、二重积分的换元法 143

习题9.2 148

第三节 三重积分 151

一、三重积分的概念 151

二、三重积分在直角坐标系中的计算法 152

三、三重积分在柱坐标系中的计算法 155

四、三重积分在球坐标系中的计算法 158

习题9.3 161

第四节 重积分的应用 163

一、曲面面积 164

二、物理应用 166

习题9.4 174

第五节 含参变量积分 175

习题9.5 179

第十章 曲线积分与曲面积分 180

第一节 对弧长的曲线积分 180

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 180

二、对弧长的曲线积分的计算与应用 182

习题10.1 187

第二节 对坐标的曲线积分 188

一、对坐标的曲线积分的概念 188

二、对坐标的曲线积分的性质 190

三、对坐标的曲线积分的计算法 191

四、两类曲线积分间的关系 195

习题10.2 196

第三节 格林公式及其应用 197

一、格林公式 198

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 203

三、全微分准则、原函数 206

习题10.3 212

第四节 对面积的曲面积分 213

一、对面积的曲面积分的概念与性质 213

二、对面积的曲面积分的计算法 215

习题10.4 219

第五节 对坐标的曲面积分 220

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 220

二、对坐标的曲面积分的计算法 225

习题10.5 229

第六节 高斯公式与散度 230

一、高斯公式 230

二、通量与散度 233

习题10.6 237

第七节 斯托克斯公式与旋度 239

一、斯托克斯公式 239

二、环量与旋度 243

三、几种重要的向量场 245

习题10.7 250

第十一章 无穷级数 252

第一节 数项级数 252

一、数项级数的概念及基本性质 252

二、正项级数及其判敛法 256

三、任意项级数 264

习题11.1 267

第二节 幂级数 270

一、函数项级数的一般概念 270

二、幂级数及其收敛区间 271

三、幂级数的运算 274

四、函数展开成幂级数 277

五、函数的幂级数展开式的一些应用 285

习题11.2 290

第三节 傅里叶级数 292

一、三角级数 292

二、函数展开成傅里叶级数 294

习题11.3 306

第十二章 微分方程 308

第一节 常微分方程的基本概念 308

习题12.1 311

第二节 一阶微分方程 312

一、可分离变量方程 312

二、齐次方程 315

三、一阶线性方程 320

四、全微分方程 324

五、一阶方程的近似解法 327

习题12.2 329

第三节 可降阶的高阶微分方程 331

一、y(n)=f（x）型的微分方程 331

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 333

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 335

习题12.3 337

第四节 高阶线性方程 338

一、二阶齐次线性方程的通解结构 339

二、二阶非齐次线性方程的通解结构 340

三、n阶线性方程的通解结构 342

习题12.4 343

第五节 常系数线性方程 344

一、常系数齐次线性方程通解的求法 344

二、常系数非齐次线性方程通解的求法 350

三、欧拉方程 356

习题12.5 357

第六节 微分方程的幂级数解法 358

习题12.6 360

第七节 常系数线性微分方程组 360

习题12.7 363

第八节 微分方程应用举例 363

习题答案 369

附录四 数学实验（下） 396

附录五 常见曲面所围的立体图形 411