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第一编 一元函数微分学 1

第1章 函数 3

§1．1 函数的概念 3

1．1．1 实数概述 3

1．1．2 函数的概念 6

1．1．3 函数的两个要素 9

§1．2 函数的性质 14

1．2．1 函数的奇偶性 14

1．2．2 函数的单调性 16

1．2．3 函数的周期性 18

1．2．4 函数的有界性 19

§1．3 初等函数 20

1．3．1 六类基本初等函数 20

1．3．2 复合函数 24

1．3．3 初等函数 25

1．4．1 常用的经济函数举例 26

§1．4 常用的函数举例 26

1．4．2 几何分析中常用的函数举例 32

第2章 函数的极限与连续 35

§2．1 极限的概念 35

2．1．1 无穷小量与变量极限的概念 35

2．1．2 x→∞时函数f(x)的极限 37

2．1．3 x→x0时函数f(x)的极限 39

2．1．4 数列的极限 40

§2．2 极限的运算法则 41

2．2．1 极限的四则运算法则 41

2．2．2 计算有理分式极限的运算法则 42

2．2．3 无穷小量的运算法则 46

§2．3 两个重要极限 47

2．3．1 第一个重要极限? 47

2．3．2 第二个重要极限? 48

2．3．3 应用举例 50

2．3．4 利用等价无穷小代换计算“0/0”型未定式极限 51

§2．4 函数的连续性 52

2．4．1 函数f(x)在x0点极限存在的充要条件 53

2．4．2 函数连续的概念 55

2．4．3 初等函数的连续性 56

2．4．4 闭区间上连续函数的性质 56

第3章 导数与微分 59

§3．1 导数的概念 59

3．1．1 导数概念的引入 59

3．1．2 导数的概念 61

3．1．3 导数的几何意义 64

§3．2 导数的基本公式与运算法则 65

3．2．1 基本初等函数的导数公式 65

3．2．2 导数的四则运算法则 67

3．2．3 高阶导数 68

§3．3 复合函数和隐函数求导 70

3．3．1 复合求导法则 70

3．3．2 常用的复合函数求导公式 71

3．3．3 隐函数的导数 73

§3．4 函数的微分 74

3．4．1 微分的概念 74

3．4．2 微分的计算 76

3．4．3 微分的应用 76

3．4．4 二元函数的全微分 78

第4章 导数的应用 81

§4．1 微分中值定理 81

4．1．1 拉格朗日微分中值定理 81

4．1．2 拉格朗日中值定理的推论 82

§4．2 利用导数研究函数的性态 83

4．2．1 利用一阶导数的正负判断函数在区间上的单调性 83

4．2．2 利用一阶导数求函数的极值 86

4．2．3 利用二阶导数的正负判断函数在区间上的凹凸性 87

§4．3 计算极限的洛必达法则 89

4．3．1 “0/0”型未定式极限的计算 89

4．3．3 其他类型未定式极限的计算 90

4．3．2 “∞/∞”型未定式极限的计算 90

§4．4 导数在经济分析中的应用 91

4．4．1 经济中的边际分析 91

4．4．2 经济中的弹性分析 93

4．4．3 经济中的收益率分析 95

4．4．4 经济中的最值分析 96

4．4．5 经济中的功能成本分析 98

第二编 一元函数积分学 99

第5章 不定积分 101

§5．1 原函数的性质和存在定理 101

5．1．1 原函数的概念 101

5．1．2 原函数的性质 102

5．1．3 原函数的存在定理 104

§5．2 不定积分的概念和直接积分法 104

5．2．1 不定积分的概念 104

5．2．2 求不定积分和求导的关系 106

5．2．3 基本初等函数的不定积分 107

5．2．4 计算不定积分的常用公式 108

5．2．5 不定积分的性质 109

5．2．6 不定积分的直接积分法 109

§5．3 不定积分的换元积分法 111

5．3．1 第一换元积分法的依据 111

5．3．2 第一换元法的一般公式 111

5．3．3 第一换元法的适用范围 111

5．3．4 第一换元法的常用类型 112

5．3．5 第一换元积分法的详细步骤 113

5．3．6 不定积分的第二换元法 113

§5．4 不定积分的分部积分法 115

5．4．1 不定积分的分部积分法的依据 115

5．4．2 分部积分法的基本步骤 116

5．4．3 分部积分法计算不定积分的常用类型 117

5．4．4 推广的分部积分公式 118

5．5．1 有理分式 121

§5．5 有理分式的不定积分 121

5．5．2 关于有理分式的两个定理 122

5．5．3 计算真分式不定积分的步骤 123

5．5．4 计算有理分式不定积分的一般步骤 125

5．5．5 三角有理分式的不定积分 126

§5．6 不定积分的应用 127

5．6．1 不定积分在经济分析中的应用 127

5．6．2 不定积分的物理应用 129

5．6．3 求解常微分方程 130

5．6．4 常微分方程应用实例 132

§5．7 关于原函数存在定理 136

5．7．1 有界平面图形的面积 136

5．7．2 开区间I内连续函数的原函数存在定理 138

5．7．3 区间［a,b］上逐段连续函数在连续区间内的原函数存在定理 139

第6章 定积分 141

§6．1 定积分的概念和性质 141

6．1．1 定积分的概念 141

6．1．2 定积分的性质 143

6．1．3 定积分的几何意义 145

§6．2 定积分的计算方法 146

6．2．1 定积分的直接积分法 146

6．2．2 定积分的换元法 147

6．2．3 定积分的分部积分法 149

§6．3 数值积分的应用 151

6．3．1 数值积分的基本思路 151

6．3．2 数值积分的梯形公式 153

6．3．3 数值积分的抛物线(Simpson)公式 154

6．3．4 数值积分公式的收敛性 155

§6．4 定积分的应用 156

6．4．1 定积分在经济中的应用 156

6．4．2 微元法 158

6．4．3 定积分在几何中的应用 159

6．4．4 定积分在物理中的应用 161

§6．5 变限定积分和无穷限广义积分 163

6．5．1 变限定积分 163

6．5．2 无穷限广义积分 166

§6．6 关于定积分性质和定义等价性的证明 169

6．6．1 定积分的性质 169

6．6．2 定积分的估值不等式 172

6．6．3 定积分的等价定义 173

第三编 概率论 177

第7章 随机事件与概率 179

§7．1 随机事件 179

7．1．1 随机事件 179

7．1．2 事件的运算与事件的关系 182

§7．2 事件的概率 184

7．2．1 概率的定义和性质 184

7．2．2 概率加法公式和减法公式 186

7．2．3 概率的乘法公式 187

7．2．4 事件的独立性 188

§7．3 古典概型 190

7．3．1 古典概型 190

7．3．2 全概率公式 194

7．3．3 贝叶斯(Bayes)公式 195

第8章 随机变量及其数字特征 197

§8．1 离散型随机变量 197

8．1．1 随机变量 197

8．1．2 离散型随机变量及其概率分布 197

8．1．3 常用的离散型随机变量 199

§8．2 连续型随机变量 201

8．2．1 连续型随机变量的概念及其概率密度 201

8．2．2 连续型随机变量的分布函数 202

8．2．3 常用的连续型随机变量 203

§8．3 随机变量的数字特征 207

8．3．1 随机变量样本的均值和方差 207

8．3．2 离散型随机变量的数学期望和方差 209

8．3．3 连续型随机变量的数学期望和方差 210

8．3．4 数学期望和方差的性质 211

8．3．5 常见类型随机变量的数字特征 212

8．4．1 随机变量参数的点估计 213

§8．4 随机变量的参数估计 213

8．4．2 随机变量参数的区间估计 216

§8．5 随机变量的参数检验 219

8．5．1 假设检验的一般步骤 219

8．5．2 正态分布均值μ的检验 222

8．5．3 正态分布方差的检验 223

第四编 线性代数 225

§9．1 矩阵概念及其代数运算 227

9．1．1 矩阵概念的引入 227

第9章 矩阵 227

9．1．2 几种特殊矩阵 228

9．1．3 矩阵的代数运算与转置 230

9．1．4 矩阵的乘法运算与转置运算规律 233

9．1．5 矩阵运算的应用举例 233

§9．2 n阶矩阵的行列式 234

9．2．1 n阶矩阵行列式的概念 234

9．2．2 行列式的运算性质 237

9．3．2 阶梯形矩阵的秩 241

§9．3 矩阵的秩 241

9．3．1 矩阵秩的概念 241

9．3．3 矩阵的初等行变换 242

§9．4 矩阵求逆 243

9．4．1 逆矩阵的概念 244

9．4．2 逆矩阵的求法 245

9．4．3 矩阵求逆运算的性质 247

第10章 线性方程组 249

§10．1 线性方程组有解性的判别 249

10．1．1 线性方程组的矩阵表示 249

10．1．2 线性方程组的有解判别定理 250

§10．2 线性方程组的解法 251

10．2．1 对初等数学中所用消去法的回顾和分析 251

10．2．2 线性方程组的解法 253

10．2．3 线性方程组解的结构 256

练习1．1 261

练习题 261

第1章 函数 261

练习1．2 262

练习1．3 263

练习1．4 264

习题1 264

第2章 函数的极限与连续 266

练习2．1 266

练习2．2 267

练习2．3 268

练习2．4 269

习题2 270

第3章 导数与微分 271

练习3．1 271

练习3．2 273

练习3．3 273

练习3．4 274

习题3 275

第4章 导数的应用 277

练习4．1 277

练习4．2 277

练习4．3 278

练习4．4 278

习题4 279

第5章 不定积分 281

练习5．1 281

练习5．2 282

练习5．3 283

练习5．4 284

练习5．5 286

练习5．6 287

习题5 288

练习6．1 289

第6章 定积分 289

练习6．2 290

练习6．3 291

练习6．4 292

练习6．5 292

习题6 293

第7章 随机事件与概率 295

练习7．1 295

练习7．2 296

练习7．3 297

习题7 299

第8章 随机变量及其数字特征 300

练习8．1 300

练习8．2 301

练习8．3 302

练习8．5 304

练习8．4 304

习题8 305

第9章 矩阵 307

练习9．1 307

练习9．2 308

练习9．3 309

练习9．4 310

习题9 311

练习10．1 313

第10章 线性方程组 313

练习10．2 314

习题10 316

练习题参考答案 318

《应用数学基础》附表 339

附表1 标准正态分布函数Φ(x) 339

附表2 t-分布的双侧临界值表 341

附表3 χ2-分布的上侧临界值表 342

参考文献 344