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第1章 预备知识 1

1.1 Banach空间上的微分学 1

1.1.1 Fréchet导数 1

1.1.2 G？teaux导数 2

1.2 无条件局部极值 4

1.2.1 无条件极值存在的必要条件 5

1.2.2 无条件极值的存在性 5

1.3 应用 6

习题1 9

第2章 二阶线性椭圆算子的特征值问题 10

2.1 引言 10

2.2 主特征值及其对应的特征函数 11

2.3 主特征值、最大值原理与正的严格上解之间的关系 15

2.4 散度型二阶线性椭圆算子的特征值 18

2.4.1 特征值的极值性质 19

2.4.2 特征值的无界性和特征函数系的完备性 22

2.4.3 特征值的变化 25

2.4.4 主特征值与谱半径之间的关系 31

2.5 非完全耦合的二阶线性椭圆型方程组的特征值问题 31

2.6 另一类特征值问题 33

2.6.1 在Ω上p（x）≥0的情形 33

2.6.2 在Ω上p（x）变号的情形 34

2.7 特征值的完备性定理的应用 37

习题2 40

第3章 上下解方法 43

3.1 完全非线性方程古典解的比较原理 43

3.2 一个一般形式的比较原理和正解的唯一性 44

3.3 方程式的上下解方法 51

3.3.1 解的存在性 51

3.3.2 单调迭代序列 55

3.4 应用Ⅰ——几个例子 57

3.5 应用Ⅱ——非退化的Logistic方程 61

3.6 应用Ⅲ——退化的Logistic方程 65

3.6.1 正解的存在性和渐近性 65

3.6.2 摄动与解的模式（pattern） 70

3.7 弱耦合方程组的上下解方法 76

3.7.1 解的存在性 76

3.7.2 单调迭代序列 79

3.8 弱耦合方程组的例子 82

3.9 强耦合方程组的上下解方法 86

3.10 弱上下解方法 88

3.10.1 半线性方程 88

3.10.2 拟线性方程 91

3.11 无界区域上的上下解方法 105

习题3 106

第4章 拓扑度和分支理论 109

4.1 有限维空间上的拓扑度（Brouwer度） 109

4.1.1 定义 109

4.1.2 基本性质 113

4.1.3 应用 115

4.2 Banach空间上的拓扑度（Leray-Schauder度） 117

4.2.1 Schauder不动点定理 117

4.2.2 Leray-Schauder度 120

4.3 隐函数定理 121

4.4 孤立解处的度——不动点指数 125

4.5 分支理论 126

4.5.1 Lyapunov-Schmidt过程 127

4.5.2 Morse引理 127

4.5.3 Morse引理的应用 129

4.5.4 Krasnoselski定理 132

4.5.5 Rabinowitz定理 133

4.6 稳定性 136

4.7 椭圆型方程组解的稳定性与不动点指数的关系 141

4.8 应用 143

4.9 锥上的拓扑度理论 147

4.9.1 抽象理论 147

4.9.2 应用 149

习题4 152

第5章 方程组的齐次Dirichlet边值问题 154

5.1 一个带有修正的Holling Ⅱ型响应函数的捕食模型 154

5.1.1 先验估计 154

5.1.2 不动点指数的计算 155

5.1.3 共存解的存在性 159

5.1.4 共存解的稳定性与多解性 161

5.1.5 共存解的分支、稳定性与多解性 165

5.2 一个带有Holling Ⅱ型响应函数的捕食模型 170

5.2.1 共存解的存在性 170

5.2.2 共存解的渐近性质和估计 172

5.2.3 共存解的多解性、精确个数与稳定性 180

习题5 182

第6章 方程组的齐次Neumann边值问题 184

6.1 常数解处的指数计算 185

6.2 一个具有约定机制的三种群模型 192

6.2.1 ？的全局渐近稳定性——常微分问题（6.2.1） 194

6.2.2 ？的全局渐近稳定性——偏微分问题（6.2.4） 195

6.2.3 交错扩散问题的正平衡解的估计 201

6.2.4 特征多项式的分析和特征根的估计 205

6.2.5 非常数正解的大范围存在性 208

6.3 一个具有年龄结构和交错扩散的捕食模型 210

6.3.1 先验估计 210

6.3.2 非常数正解的不存在性 218

6.3.3 非常数正解的存在性 221

习题6 226

第7章 解耦方法 227

7.1 最大值原理与上下解方法 227

7.2 变分方法 231

习题7 238

第8章 Nehari流形及其应用 239

8.1 Nehari流形 239

8.2 应用 241

8.2.1 λ＜λ1（α）的情况 244

8.2.2 λ＞λ1（α）的情况 249

8.2.3 不存在性 256

习题8 258

第9章 p-Laplace方程 259

9.1 解的正则性、强最大值原理与Harnack不等式 260

9.2 特征值问题 261

9.3 主特征值与最大值原理之间的关系 269

9.4 一个边值问题解的渐近性质 275

9.5 上下解方法 279

9.6 应用 283

9.6.1 一个方程式的边值问题 283

9.6.2 一个非线性特征值问题 286

9.7 p-Laplace方程组 289

习题9 292

附录A Sobolev空间的若干结论 293

A.1 几个常用不等式 293

A.2 空间Lp（Ω）和Wk,p（Ω）的几个重要性质 294

A.3 Sobolev不等式 295

A.4 空间Wk,p（Ω）中的嵌入 296

A.5 空间Wk,p（Ω）中的紧嵌入 297

附录B 二阶线性椭圆型方程的若干结论 299

B.1 极值原理 299

B.1.1 古典解的极值原理 299

B.1.2 弱解的极值原理 301

B.2 Schauder理论和Lp理论 302

B.2.1 Schauder估计 302

B.2.2 Lp估计 302

B.2.3 解的存在性和估计 303

参考文献 305

索引 308