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绪论 1

第一章 函数 极限与连续 5

1.1 映射与函数 5

一、集合 区间与邻域 5

二、映射 9

三、函数的概念 11

四、函数的运算 反函数 17

五、函数的几种简单性态 21

六、基本初等函数 初等函数 25

七、建立函数关系式举例 34

习题 1.1 37

1.2 极限的概念 39

一、数列的极限 40

二、当自变量趋于无穷大时函数的极限 45

三、当自变量趋于有限值时函数的极限 48

四、单侧极限 54

五、数列极限与函数极限的关系 56

习题1.2 58

1.3 无穷小量 无穷大量 59

一、无穷小量与无穷大量的概念 59

二、无穷小量与无穷大量的关系 60

三、无穷小的运算性质 61

五、无界函数 63

四、函数及其极限与无穷小之间的关系 63

习题1.3 64

1.4 极限的性质及运算法则 66

一、极限的性质 66

二、极限的运算法则 68

习题1.4 73

1.5 极限存在准则 两个重要极限 74

一、夹逼准则 74

二、单调有界准则 80

三、无穷小的比较 86

习题1.5 90

一、连续性的概念 91

1.6 连续函数 91

二、函数的间断点 96

三、连续函数的运算 100

四、初等函数的连续性 102

五、闭区间上连续函数的性质 104

习题1.6 109

1.7 数学实验 111

实验一 在计算机上绘制函数的图形 111

实验二 用对分法求方程的根 112

实验三 分形曲线 112

实验四 椅子平稳模型 115

复习题一 117

第二章 一元函数微分学 120

2.1 导数的概念 120

一、引例 120

二、导数的定义 123

三、单侧导数 126

四、导数的几何意义 128

五、函数可导与连续的关系 129

六、在经济学中导数的含义 132

习题2.1 133

一、导数的四则运算法则 135

2.2 导数的运算法则 135

二、反函数的求导法则 138

三、复合函数的求导法则 140

四、导数基本公式 145

习题2.2 147

2.3 隐函数与参数式函数的导数 149

一、隐函数的导数 149

二、参数式函数的导数 153

三、相关变化率问题 157

习题2.3 160

2.4 高阶导数 161

习题2.4 167

一、微分的概念 168

2.5 函数的微分 168

二、微分运算法则 172

三、函数的线性近似 174

习题2.5 177

2.6 微分中值定理 178

一、函数的极值及其必要条件 178

二、微分中值定理 180

习题2.6 189

2.7 不定型的极限 190

一、0/0型与∞/∞型 191

二、其他不定型 194

习题2.7 198

2.8 泰勒公式 199

一、泰勒公式 199

二、几个常用的麦克劳林公式 204

三、泰勒公式的应用 208

习题2.8 212

2.9 函数的单调性与极值 213

一、函数单调性的判定法 213

二、函数极值的判定法 217

三、最大值与最小值问题 222

四、在经济学中的极值问题 227

习题2.9 229

2.10 函数的凸性与曲线的拐点 231

习题2.10 239

2.11 函数作图 240

一、曲线的渐近线 240

二、函数作图 245

习题2.11 247

2.12 曲线的曲率 248

一、弧微分 248

二、曲率 250

习题2.12 255

2.13 数学实验 256

实验一 用牛顿——辛普森迭代法求方程的根 256

实验二 拐角问题 260

复习题二 262

第三章 一元函数积分学 265

3.1 定积分的概念与性质 265

一、引例 265

二、定积分的定义 268

三、函数可积分的充分条件 270

四、定积分的几何意义 270

五、定积分的性质 273

习题3.1 278

3.2 微积分基本定理 279

一、积分上限的函数 280

二、微积分基本定理 283

习题3.2 284

3.3 不定积分的概念与性质 285

一、不定积分的概念 285

二、不定积分的几何意义 286

三、不定积分的性质 287

四、基本积分公式 288

习题3.3 294

3.4 换元积分法 295

一、不定积分的换元积分法 295

二、定积分的换元积分法 311

习题3.4 318

一、不定积分的分部积分法 320

3.5 分部积分法 320

二、定积分的分部积分法 327

习题3.5 331

3.6 有理函数的积分 332

一、有理函数的积分 332

二、三角函数的有理式的积分 342

习题3.6 345

3.7 广义积分 345

一、无穷区间上的广义积分 346

二、无界函数的广义积分 350

三、Γ函数与β函数 353

习题3.7 356

一、微元法 357

3.8 定积分的几何应用 357

二、求平面图形的面积 359

三、求体积 364

习题3.8 368

3.9 定积分的物理应用 369

一、功 369

二、引力 372

三、液体的压力 375

四、函数的平均值与均方根 376

习题3.9 379

实验一 数值积分 380

3.10 数学实验 380

实验二 钓鱼问题 386

实验三 飞机油箱的长度问题 386

实验四 倾斜水箱的体积问题 386

复习题三 387

第四章 常微分方程 392

4.1 微分方程的基本概念 392

一、引例 392

二、基本概念 395

三、积分曲线与方向场 397

习题4.1 400

4.2 一阶微分方程 401

一、可分离变量的方程 402

二、齐次方程 406

三、一阶线性方程 411

习题4.2 419

4.3 可降阶的高阶微分方程 421

一、y(n)=f(x)型 421

二、yn=f(x,y')型 422

三、yn=f(y,y')型 425

习题4.3 427

4.4 二阶齐次线性方程 428

一、二阶齐次线性方程解的性质与结构 428

二、二阶常系数齐次线性方程的解法 432

习题4.4 439

4.5 二阶非齐次线性方程 440

一、二阶非齐次线性方程解的性质与结构 440

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法 442

三、欧拉方程 456

习题4.5 458

4.6 数学实验 460

实验一 常微分方程的数值解法 460

实验二 人口增长模型 465

实验三 鱼雷击舰问题 470

复习题四 470

习题答案 473