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第1章 数学建模与误差分析 1

1.1 数学与科学计算 1

1.2 数学建模及其重要意义 1

1.2.1 数学建模的过程 1

1.2.2 数学建模的一般步骤 2

1.2.3 数学建模的重要意义 3

1.3 数值方法与算法评价 4

1.4 误差的种类及其来源 6

1.4.1 模型误差 6

1.4.2 观测误差 6

1.4.3 截断误差 6

1.4.4 舍入误差 7

1.5 绝对误差和相对误差 7

1.5.1 绝对误差和绝对误差限 7

1.5.2 相对误差和相对误差限 8

1.6 误差的传播与估计 9

1.6.1 误差传播估计的一般公式 9

1.6.2 误差在算术运算中的传播 11

1.6.3 算法误差实例分析 12

习题1 16

第2章 城市供水量的预测模型——插值与拟合算法 18

2.1 城市供水量的预测问题 18

2.2 求未知函数近似表达式的插值法 18

2.2.1 求函数近似表达式的必要性 18

2.2.2 插值多项式的存在唯一性 19

2.3 求插值多项式的拉格朗日（Lagrange）法 20

2.3.1 拉格朗日插值基函数 20

2.3.2 拉格朗日插值多项式 20

2.3.3 插值余项 22

2.3.4 插值误差的事后估计法 23

2.4 求插值多项式的牛顿法 24

2.4.1 向前差分与牛顿向前插值公式 24

2.4.2 向后差分与牛顿向后插值公式 26

2.4.3 差商与牛顿基本插值多项式 27

2.5 求插值多项式的改进算法 29

2.5.1 分段低次插值 29

2.5.2 三次样条插值 31

2.6 求函数近似表达式的拟合法 36

2.6.1 曲线拟合的最小二乘法 37

2.6.2 加权最小二乘法 44

2.6.3 利用正交函数作最小二乘法拟合 45

2.7 城市供水量预测的简单方法 47

2.7.1 供水量增长率估计与数值微分 47

2.7.2 利用插值多项式求导数 48

2.7.3 利用三次样条插值函数求导 49

2.7.4 城市供水量预测 50

习题2 54

第3章 湘江流量计算问题——数值积分法 56

3.1 数值积分公式的构造及代数精度 56

3.1.1 数值求积的必要性 56

3.1.2 构造数值求积公式的基本方法 56

3.1.3 求积公式的余项 57

3.1.4 求积公式的代数精度 57

3.2 数值求积的牛顿－柯特斯方法 58

3.2.1 牛顿－柯特斯公式 59

3.2.2 复合牛顿－柯特斯公式 60

3.2.3 误差的事后估计与步长的自动选择 63

3.2.4 复合梯形法的递推算式 64

3.3 龙贝格算法 66

3.3.1 龙贝格算法的基本原理 66

3.3.2 龙贝格算法计算公式的简化 68

3.4 高斯型求积公式与测量位置的优化选取 69

3.4.1 高斯型求积公式的定义 69

3.4.2 高斯型求积公式的构造与应用 70

3.5 湘江流量的估计 72

习题3 72

第4章 养老保险问题——非线性方程求根的数值解法 74

4.1 养老保险问题 74

4.1.1 问题的引入 74

4.1.2 模型分析 74

4.1.3 模型假设 74

4.1.4 模型建立 74

4.1.5 模型求解 75

4.2 非线性方程求根的数值方法 75

4.2.1 根的搜索相关定义 75

4.2.2 逐步搜索法 75

4.2.3 二分法 76

4.2.4 迭代法 77

4.2.5 牛顿公式 82

4.2.6 牛顿法的几何意义 82

4.2.7 牛顿法的局部收敛性 83

4.2.8 牛顿法应用举例 84

4.2.9 牛顿下山法 85

4.2.10 弦截法与抛物线法 86

4.2.11 多项式求值的秦九韶算法 88

4.2.12 代数方程的牛顿法 89

4.2.13 牛顿法对重根的处理 89

4.3 养老保险模型的求解 90

习题4 91

第5章 小行星轨道方程计算问题——线性方程组的数值解法 92

5.1 小行星轨道方程问题 92

5.1.1 问题的引入 92

5.1.2 模型的分析 92

5.1.3 模型的假设 93

5.1.4 模型的建立 93

5.2 线性方程组数值解法概述 93

5.3 直接解法 94

5.3.1 高斯消元法 94

5.3.2 矩阵的三角分解 97

5.3.3 高斯消元法的计算量 99

5.3.4 高斯主元素消元法 99

5.3.5 完全主元素消元法 100

5.3.6 列主元消元法 101

5.3.7 高斯－约当消元法 103

5.3.8 高斯消元法的变形 105

5.3.9 平方根法 107

5.3.10 追赶法 109

5.4 迭代法 112

5.4.1 雅可比迭代法 113

5.4.2 高斯－赛德尔迭代法 114

5.4.3 迭代法的收敛性 115

5.4.4 超松弛迭代法 121

5.5 误差分析 124

5.5.1 矩阵的条件数及误差分析 124

5.5.2 迭代改善法 128

5.5.3 舍入误差分析 130

5.6 小行星轨道方程问题的模型求解 130

习题5 131

第6章 常微分方程数值解法 133

6.1 实际问题的微分方程模型 133

6.2 简单的数值方法与基本概念 134

6.2.1 常微分方程初值问题 134

6.2.2 欧拉法及改进的欧拉法 135

6.2.3 截断误差与算法精度的阶 137

6.3 线性多步法 140

6.3.1 数值积分法 140

6.3.2 待定系数法 142

6.4 非线性单步法——龙格－库塔法 144

6.4.1 泰勒展开法 144

6.4.2 龙格－库塔法 145

6.5 一阶方程组和高阶方程的初值问题 150

6.6 常微分方程边值问题的数值解法 151

6.6.1 试射法 151

6.6.2 差分法 153

习题6 156

第7章 产品的次品率的推断——估计与检验 157

7.1 问题的提出 157

7.2 基本概念和重要结论 157

7.3 估计方法 161

7.3.1 点估计 161

7.3.2 区间估计 163

7.4 假设检验 165

7.4.1 参数假设检验 165

7.4.2 分布假设检验 169

习题7 171

第8章 屈服点与含碳量和含锰量的关系——回归分析 174

8.1 问题的提出 174

8.2 一元线性回归 174

8.2.1 回归分析的基本思想和一般步骤 174

8.2.2 模型和参数估计 176

8.2.3 模型检验 178

8.2.4 预测 179

8.2.5 控制 180

8.3 多元线性回归 181

8.3.1 模型和参数估计 181

8.3.2 模型检验 184

8.3.3 预测 185

8.3.4 变量选择及多元共线性问题 186

8.3.5 线性回归的推广 191

习题8 193

第9章 灯丝配料对灯泡寿命的影响——方差分析与正交试验设计 195

9.1 问题的提出 195

9.2 一元方差分析 195

9.3 二元方差分析 197

9.3.1 无重复试验的方差分析 197

9.3.2 重复试验的方差分析 200

9.4 正交试验设计 204

9.4.1 方差分析法的推广和正交试验法的提出 204

9.4.2 正交表及直观分析法 205

9.4.3 正交试验法的方差分析法 208

9.4.4 考虑交互作用的正交设计 210

习题9 212

第10章 线性规划模型与理论 215

10.1 线性规划的数学模型 215

10.2 线性规划的标准形式 218

10.2.1 标准形式 218

10.2.2 化线性规划问题为标准形式 219

10.3 两个变量线性规划问题的图解法 220

10.4 线性规划的基本概念和基本定理 222

10.4.1 可行解、可行域 222

10.4.2 最优解、无界解 223

10.4.3 基本可行解 223

10.4.4 凸集 226

10.5 线性规划的基本定理 228

习题10 229

第11章 线性规划的单纯形算法 232

11.1 单纯形法原理 232

11.1.1 枢轴运算 232

11.1.2 典范型线性方程组 233

11.1.3 单纯形法的一般步骤 233

11.1.4 判别数、最优判别定理 235

11.2 表格单纯形方法 237

11.3 人工变量及初始基本可行解 246

11.3.1 人工变量大M单纯形法 247

11.3.2 人工变量两阶段单纯形法 248

习题11 251

第12章 线性规划的对偶问题 253

12.1 对称的对偶规划 253

12.1.1 对偶问题的提出 253

12.1.2 （LP）、（LD）的对偶定理 256

12.2 非对称及混合型对偶规划 260

12.2.1 （SLP）的对偶规划 260

12.2.2 （SLP）、（SLD）的对偶定理 261

12.2.3 混合型对偶线性规划 262

12.3 对偶单纯形法 264

12.3.1 什么是对偶单纯形法 264

12.3.2 对偶单纯形法的迭代原理 264

12.3.3 人工约束方法 267

12.4 对偶问题的经济意义——影子价格 272

习题12 275

第13章 最优化问题数学建模专题 277

13.1 引言 277

13.2 最优化问题数学建模 278

13.3 最优化问题的基本概念 280

13.4 二维问题的图解法 282

13.5 二次函数 284

13.6 梯度与Hesse矩阵 286

13.6.1 多元函数的可微性和梯度 286

13.6.2 梯度的性质 287

13.6.3 Hesse矩阵 289

13.7 多元函数的泰勒展开公式 291

13.8 极小点及其判定条件 291

13.8.1 极小点的概念 291

13.8.2 局部极小点的判定条件 292

13.9 下降迭代算法及其收敛性 292

13.9.1 下降迭代算法 292

13.9.2 迭代算法中直线搜索及其性质 294

13.9.3 收敛速度 294

13.9.4 非线性最优化算法简介 295

习题13 295

参考文献 297