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第1章　整除 1

1.1 整除的基本性质和余数定理 1

1.2　最大公因数和最小公倍数 7

1.3　算术基本定理 14

1.4　实验 16

1.5 习题 16

第2章 同余 18

2.1 同余的定义和基本性质 18

2.2 剩余类与剩余系 24

2.3　几个著名定理 31

2.4　RSA公开密钥密码系统 34

2.4.1　密钥的产生 34

2.4.2　RSA系统 34

2.4.3　RSA的安全性 35

2.4.4　RSA参数的选择 36

2.5 同余式 39

2.6　一次同余式 41

2.7 中国剩余定理 43

2.8 高次同余式的解法和解数 49

2.9　模为素数的高次同余式的求解 53

2.10　实验 57

2.11 习题 57

第3章　二次同余式与平方剩余 60

3.1 二次同余式与平方乘余的概念 60

3.2　模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 62

3.3　勒让德符号 64

3.4　雅可比符号 67

3.5　模P平方根 70

3.6　模为合数的情形 73

3.7 实验 74

3.8 习题 75

第4章　原根 76

4.1　指数及其基本性质 76

4.2　原根及其计算 79

4.3　指标及n次剩余 81

4.4 实验 84

4.5 习题 84

第5章 群 86

5.1 准备知识 86

5.1.1　二元运算的概念 86

5.1.2　二元运算的性质 86

5.1.3　代数系统的定义 88

5.2　群的定义与性质 89

5.2.1　群的定义 89

5.2.2　群中元素的阶 90

5.2.3　子群及子群的判定 91

5.3 同态和同构 92

5.3.1 同态、同构的定义 92

5.3.2　同态的性质 93

5.4　循环群和置换群 94

5.5　群的应用 97

5.6　习题 99

第6章　环 102

6.1 环的定义和性质 102

6.2　整环和域 104

6.3 环的应用 106

6.3.1　非负整数环中的幂等元素及其性质 107

6.3.2　基于幂等元素加密算法的实现 109

6.3.3　加密算法举例 109

6.4 习题 110

第7章　有限域理论 112

7.1　域的扩张 112

7.2　有限域的基本概念与性质 113

7.3 最小多项式与本原多项式 115

7.4 多项式的周期 118

7.5　有限域的构造 119

7.6　有限域的基与迹函数 124

7.8　习题 126

7.7 实验 126

8.1 偏序关系和偏序集 128

第8章　格及其应用 128

8.2　格的定义与性质 130

8.3　格的应用 132

8.3.1　基于格的信息流控制策略 132

8.3.2　基于格的安全模型 133

8.4 习题 136

第9章　椭圆曲线 139

9.1 射影坐标与仿射坐标的关系 139

9.2　椭圆曲线基本概念 139

9.3 椭圆曲线加法原理 140

9.4 有限域上的椭圆曲线 142

9.5 双线性映射（Weil pairing） 144

9.6 椭圆曲线密码体制 145

9.7 习题 146

10.1.1　加法原理与乘法原理 148

第10章　组合数学 148

10.1　排列与组合 148

10.1.2　排列与组合 149

10.1.3　多重集合中元素的排列与组合 153

10.2　鸽巢原理 155

10.2.1　鸽巢原理的简单形式 155

10.2.2　鸽巢原理的加强形式 156

10.3　容斥原理及其应用 157

10.3.1　容斥原理 157

10.3.2　容斥原理的应用 160

10.4　递推关系 162

10.4.1　递推关系的建立 162

10.4.2　常系数线性齐次递推关系的求解 164

10.4.3　常系数线性非齐次递推关系的求解 166

10.4.4　用迭代法求解递推关系 168

10.5.1　生成函数 169

10.5 生成函数 169

10.5.2　生成函数的应用 173

10.6　编码理论基础 175

10.6.1　编码理论基本概念 175

10.6.2　生成矩阵与校验矩阵 178

10.6.3　Hadamard非线性编码 180

10.7 实验 180

10.8 习题 181

第11章　素性测试 185

11.1 素数的概率测试算法 185

11.2 Miller-Rabin算法 185

11.3 Lehmann算法 187

11.4　Solovay-Strassen算法 187

11.5 习题 188

第12章 因数分解 189

12.1 Pollard's Rho算法 189

12.2　Pollard's p-1算法 190

12.3 Pocklington-Lehmer准则 192

12.4　Fermat因数分解方法 192

12.5 椭圆曲线因数分解方法（Lenstra算法） 193

12.6 随机平方因数分解方法 193

12.7　二次筛选因数分解方法 194

12.8　数域筛选因数分解方法 196

12.9　强素数 197

12.10　素性证书 198

12.11 习题 199

第13章　离散对数计算 200

13.1 离散对数问题 200

13.2　Pohlig-Hellman算法 201

13.3 求离散对数的Pollard's Rho算法 202

13.4 Baby-step Giant-step算法 204

13.5 习题 205

附录 206

参考文献 208