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第1章　函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1　函数的概念 1

1.1.2　函数的几种特性 2

1.1.3 复合函数 3

1.1.4　初等函数 4

练习1-1 4

1.2　极限 5

1.2.1　极限的概念 5

1.2.2　极限的四则运算 7

1.2.3　两个重要极限 9

1.2.4　无穷小量与无穷大量 11

练习1-2 13

1.3　函数的连续性 13

1.3.1 函数连续的概念 13

1.3.2　函数的间断点 15

1.3.3　初等函数的连续性 16

1.3.4　闭区间连续函数的性质 18

练习1-3 18

1.4　本章小结 19

习题一 19

第2章　导数与微分 22

2.1　导数的概念 22

2.1.1　变化率问题举例 22

2.1.2　导数的定义及几何意义 22

2.1.3 函数连续性和可导性的关系 26

练习2-1 27

2.2　求导法则 28

2.2.1 函数四则运算的求导法则 28

2.2.2　反函数、复合函数的求导法则 28

2.2.3　隐函数、对数的求导方法 31

2.2.4 由参数方程所确定的函数的导数 33

2.2.5　初等函数的导数 34

2.2.6　高阶导数 35

练习2.2 36

2.3 函数的微分 38

2.3.1 微分的概念及几何意义 38

2.3.2　一阶微分形式不变性 40

2.3.3 微分在近似求值中的应用 41

练习2-3 42

2.4　中值定理与罗彼塔法则 43

2.4.1 中值定理 43

2.4.2 罗彼塔（L'Hopital）法则 46

练习2-4 48

2.5　利用导数研究函数的性态 49

2.5.1 函数单调性的判定 49

2.5.2　函数的极值、最值 51

2.5.3 函数的凹凸性和拐点函数图像的描绘 55

2.5.4 曲线的渐近线 57

2.5.5　函数作图的一般步骤 58

练习2-5 60

2.6　本章小结 62

习题二 62

第3章　不定积分 65

3.1 不定积分的概念与性质 65

3.1.1　不定积分的概念 65

3.1.2　不定积分的性质 68

3.1.3　基本积分公式 69

练习3-1 72

3.2　换元积分法 73

3.2.1　第一换元积分法 73

3.2.2　第二换元积分法 80

练习3-2 86

3.3　分部积分法 87

练习3-3 91

3.4　积分表的使用 92

3.4.1 直接查表 92

3.4.2　先代换后查表 93

3.4.3　用递推公式 94

练习3-4 95

3.5　本章小结 95

习题三 96

第4章　定积分及其应用 98

4.1　定积分的概念与性质 98

4.1.1 两个引例 98

4.1.2　定积分的定义和几何意义 101

4.1.3　定积分的性质 103

练习4-1 106

4.2　微积分学基本定理 107

4.2.1 积分上限函数及其导数 107

4.2.2　牛顿—莱布尼兹公式 110

练习4-2 111

4.3 定积分的计算 112

4.3.1 定积分的换元积分法 112

4.3.2 定积分的分部积分法 116

练习4-3 118

4.4　定积分在几何中的应用 118

4.4.1 微元法 118

4.4.2　直角坐标系下平面图形的面积 120

4.4.3　旋转体的体积 124

练习4-4 128

4.5　定积分在其他方面的应用 128

4.5.1 函数的平均值 128

4.5.2　定积分在物理学中的应用 130

4.5.3　定积分在医学上的应用 135

4.5.4　定积分在经济学上的应用 137

练习4-5 138

4.6　广义积分 139

4.6.1 无穷区间上的广义积分 139

4.6.2　含有无穷间断点函数的广义积分 142

练习4-6 143

4.7　本章小结 143

习题四 144

第5章　多元函数微积分 146

5.1 空间几何简介 146

5.1.1　空间直角坐标系 146

5.1.2　空间任意两点间的距离 147

5.1.3 曲面与方程 148

练习5-1 150

5.2　多元函数 151

5.2.1　多元函数的概念 151

5.2.2　二元函数的极限与连续 153

练习5-2 155

5.3　偏导数与全微分 156

5.3.1 偏导数 156

5.3.2　高阶偏导数 158

5.3.3　全微分 160

练习5-3 162

5.4　多元复合函数与隐函数求导法则 163

5.4.1 多元复合函数求导法则 163

5.4.2　多元隐函数求导方法 165

练习5-4 166

5.5　多元函数的极值 167

5.5.1　二元函数极值的概念和求法 167

5.5.2　多元函数的最值 169

练习5-5 170

5.6　二重积分 170

5.6.1　二重积分的概念 170

5.6.2　二重积分的性质 172

5.6.3　二重积分的计算 173

练习5-6 177

5.7　本章小结 178

习题五 178

第6章　常微分方程 182

6.1　微分方程的基本概念 182

练习6-1 184

6.2　一阶微分方程 184

6.2.1　可分离变量的微分方程 185

6.2.2　齐次方程 186

6.2.3　一阶线性微分方程 187

练习6-2 189

6.3　可降阶的微分方程 190

6.3.1　右端仅含x的方程 190

6.3.2　右端不显含y的方程 191

6.3.3　右端不显含x的方程 192

练习6-3 193

6.4　二阶常系数线性微分方程 193

6.4.1 二阶线性微分方程解的结构 193

6.4.2　二阶常系数线性齐次微分方程 195

6.4.3　二阶常系数线性非齐次微分方程 197

练习6-4 199

6.5　本章小结 200

习题六 200

第7章　线性代数初步 202

7.1　行列式 202

7.1.1 二阶与三阶行列式 202

7.1.2　行列式的成项规则 203

7.1.3　n阶行列式 205

7.1.4　克莱姆法则 208

练习7-1 209

7.2　矩阵的概念 211

7.2.1　矩阵的概念 211

7.2.2　矩阵的运算 211

7.2.3　逆矩阵 214

7.2.4　分块矩阵 215

练习7-2 217

7.3　矩阵的初等变换与线性方程组 218

7.3.1　矩阵的初等变换 218

7.3.2　初等方阵 219

7.3.3　利用初等变换解线性方程组 220

练习7-3 222

7.4　n维向量 223

7.4.1 向量的线性相关性 223

7.4.2　向量组的秩 224

7.4.3　线性方程组的解的结构 225

7.4.4　特征值与特征向量 228

练习7-4 231

7.5　本章小结 232

习题七 232

参考答案 235

附录　积分表 258