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第一章 复变量函数 1

1.1 复数和复数的四则运算 1

1.2 复变量函数 3

1.3 多值函数的相关概念 9

习题 13

第二章 解析函数 14

2.1 解析函数的柯西-黎曼条件 14

2.2 复变函数的积分与柯西定理 19

2.3 柯西积分公式和解析函数的高阶导数 25

习题 30

第三章 解析函数的幂级数展开 31

3.1 复级数 31

3.2 解析函数的泰勒级数和洛朗级数 36

3.3 一致性定理与解析开拓 42

3.4 广义积分与Γ函数 44

习题 47

第四章 留数理论 49

4.1 孤立奇点 49

4.2 留数 52

4.3 应用留数定理计算定积分 55

4.4 关于零点个数的定理 69

习题 71

第五章 函数空间 72

5.1 抽象空间的概念 72

5.2 一些与内积相关的概念和性质 80

5.3 算子和线性算子 83

5.4 广义傅里叶级数 89

习题 91

第六章 广义函数简介 94

6.1 问题的提出 94

6.2 几个重要的函数空间 97

6.3 广义函数（分布） 101

6.4 广义函数的运算性质 108

6.5 广义函数的坐标变换 111

习题 116

第七章 二阶常微分方程的级数解法和本征值问题 118

7.1 二阶常微分方程的级数解法 118

7.2 施图姆-刘维尔型方程的本征值问题 124

7.3 贝塞尔方程的级数解 128

7.4 柱函数 131

7.5 贝塞尔方程的本征值问题 134

7.6 勒让德方程的级数解 137

7.7 勒让德方程的本征值问题 139

7.8 连带的勒让德方程 143

习题 145

第八章 偏微分方程引论 148

8.1 引言 148

8.2 一阶偏微分方程 150

8.3 偏微分方程定解问题的建立 155

8.4 二阶线性偏微分方程的分类 159

8.5 定解问题 162

8.6 热传导方程的极值原理及其应用 165

8.7 椭圆型方程的极值原理及其应用 168

8.8 能量积分与三维波动方程定解问题的唯一性 171

习题 172

第九章 保角变换法 175

9.1 简单的保角变换 175

9.2 分式线性变换 177

9.3 儒科夫斯基变换 182

9.4 多边形区域与上半平面间的保角变换 183

9.5 用保角变换解二元调和函数边值问题的例子 187

习题 193

第十章 特征线（面）与一维波动方程的求解 196

10.1 特征线（面） 196

10.2 将二元二阶偏微分方程化为标准型 202

10.3 一维波动方程的达朗贝尔解 206

10.4 影响区、决定区和依赖区 211

10.5 波动方程的分区解法 214

习题 229

第十一章 分离变量法 231

11.1 概述 231

11.2 直角坐标系中的分离变量法 236

11.3 柱坐标系中的分离变量法 242

11.4 球坐标系中的分离变量法 246

习题 249

第十二章 积分变换法 252

12.1 广义函数的傅里叶变换 252

12.2 傅里叶变换的基本性质 258

12.3 傅里叶变换法 262

12.4 拉普拉斯变换 268

12.5 一些简单函数的拉普拉斯变换与逆变换 273

12.6 拉普拉斯变换的基本公式 275

12.7 拉普拉斯变换法 279

习题 283

第十三章 格林函数法 286

13.1 用格林函数法解线性微分方程的一般原理 286

13.2 用格林函数法解线性常微分方程 289

13.3 亥姆霍兹方程边值问题 295

13.4 用镜像法求格林函数 301

13.5 热传导方程初-边值问题的格林函数法 309

13.6 波动方程初-边值问题的格林函数法 314

习题 320

第十四章 变分法初步 323

14.1 泛函极值问题 323

14.2 一般的无约束泛函极值 329

14.3 条件极值 333

14.4 自然边条件 338

习题 340

附录一 Г函数的一些常用公式 342

附录二 在相关条件下赋范空间可以成为内积空间的证明 346

附录三 关于Ym（x）表达式的推导 349

参考文献 351