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第一章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 区间与邻域 1

1.1.2 函数的概念与性质 2

1.1.3 初等函数 5

1.1.4 函数应用举例 6

习题1.1 7

1.2 数列的极限 7

1.2.1 数列极限的概念 7

1.2.2 收敛数列的性质 10

1.2.3 数列收敛准则 12

习题1.2 14

1.3 函数的极限 14

1.3.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 14

1.3.2 自变量趋于有限值时函数的极限 16

1.3.3 无穷小与无穷大 17

习题1.3 19

1.4 极限的运算与性质 20

1.4.1 极限的运算 20

1.4.2 函数极限的性质 23

习题1.4 24

1.5 极限存在准则和两个重要极限 25

1.5.1 极限存在准则 25

1.5.2 两个重要极限 26

习题1.5 28

1.6 无穷小的比较 29

习题1.6 31

1.7 函数的连续性 32

1.7.1 函数连续的概念 32

1.7.2 函数的间断点及分类 33

1.7.3 初等函数的连续性 35

习题1.7 37

1.8 闭区间上连续函数的性质 38

1.8.1 最大值和最小值定理 38

1.8.2 介值定理 39

习题1.8 40

复习题一 40

第二章 导数与微分 42

2.1 导数概念 42

2.1.1 引例 42

2.1.2 导数的定义 43

2.1.3 可导性与连续性的关系 47

习题2.1 48

2.2 函数的求导法则 48

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 48

2.2.2 反函数的求导法则 50

2.2.3 复合函数的求导法则 51

2.2.4 导数公式与基本求导法则 52

习题2.2 54

2.3 高阶导数 54

习题2.3 56

2.4 隐函数的导数·参数方程所确定的函数的导数·相关变化率 57

2.4.1 隐函数的导数 57

2.4.2 对数求导法 58

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 59

2.4.4 相关变化率 60

习题2.4 61

2.5 函数的微分 61

2.5.1 微分的概念 61

2.5.2 微分的几何意义 63

2.5.3 微分的基本公式与运算法则 63

2.5.4 微分在近似计算中的应用 65

习题2.5 68

复习题二 68

第三章 微分中值定理与导数的应用 70

3.1 微分中值定理 70

3.1.1 罗尔定理 70

3.1.2 拉格朗日中值定理 71

3.1.3 柯西中值定理 73

习题3.1 74

3.2 洛必达法则 74

3.2.1 0/0型与∞/∞型未定式 74

3.2.2 其他类型的未定式 77

习题3.2 78

3.3 泰勒公式 78

习题3.3 83

3.4 函数的性质与函数作图 84

3.4.1 函数单调性 84

3.4.2 函数的极值 85

3.4.3 函数曲线的凹凸性与拐点 88

3.4.4 函数图形的描绘 90

习题3.4 93

3.5 函数的最值 93

习题3.5 94

3.6 曲率 95

3.6.1 曲率的概念 95

3.6.2 曲率的计算公式 96

习题3.6 97

复习题三 98

第四章 不定积分 100

4.1 不定积分的概念与性质 100

4.1.1 原函数与不定积分的概念 100

4.1.2 基本积分公式 101

4.1.3 不定积分的性质 103

习题4.1 104

4.2 换元积分法 104

4.2.1 第一换元法 104

4.2.2 第二换元法 106

习题4.2 109

4.3 分部积分法 110

习题4.3 112

4.4 有理函数的积分 113

4.4.1 有理函数的积分 113

4.4.2 可化为有理函数的不定积分举例 115

习题4.4 117

4.5 积分公式的使用 117

4.5.1 可直接从积分公式中查得结果的例子 117

4.5.2 需要先进行变量代换，然后利用积分公式的例子 118

习题4.5 119

复习题四 119

第五章 定积分 121

5.1 定积分的概念与性质 121

5.1.1 积分问题举例 121

5.1.2 定积分的定义 123

5.1.3 定积分的近似计算 124

5.1.4 定积分的性质 126

习题5.1 128

5.2 微积分的基本公式 129

5.2.1 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 129

5.2.2 变积分上限函数及其导数 129

5.2.3 牛顿-莱布尼茨公式 130

习题5.2 132

5.3 定积分的计算 132

5.3.1 换元法 132

5.3.2 分部积分法 135

习题5.3 136

5.4 反常积分 137

5.4.1 无穷积分 137

5.4.2 瑕积分 140

习题5.4 143

5.5 定积分的应用 144

5.5.1 微元法 144

5.5.2 平面图形的面积 145

5.5.3 几何体的体积 149

5.5.4 曲线的弧长和旋转体的侧面积 152

5.5.5 定积分在物理学中的应用 155

习题5.5 162

复习题五 163

第六章 微分方程 165

6.1 微分方程的基本概念 165

习题6.1 169

6.2 一阶微分方程的解法 169

6.2.1 可分离变量的微分方程 170

6.2.2 齐次微分方程 172

6.2.3 一阶线性微分方程与常数变易法 173

6.2.4 伯努利方程 176

习题6.2 177

6.3 部分高阶微分方程的解法 177

6.3.1 可降阶的微分方程 178

6.3.2 二阶线性微分方程及其解的结构 181

6.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 184

习题6.3 186

复习题六 186

附录 积分公式 188

习题参考答案和提示 198

参考书目 209