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Ⅰ初等数学知识 1

一、代数 1

(一)数及其运算 1

1．数的系统表 1

2．基本运算律 1

3．实数 1

4．复数 2

1．式的分类表 3

(二)弍及其运算 3

2．乘法及因式分解公式 4

3．比例 4

4．分式 5

5．根式 6

6．不等式 7

7．数列 10

8．阶乘、排列、组合与二项式定理 12

3．一次方程组的解 15

2．一元一次方程的解 15

1．方程的分类表 15

(三)方程 15

4．一元二次方程的解 16

(四)初等函数 16

1．初等函数分类表 16

2．几种常见初等函数的性质和图象 17

3．指数函数和对数函数 18

4．双曲函数 23

1．三角形 27

(一)平面几何 27

二、初等几何计算公式 27

2．四边形 28

3．正多边形 30

4．与圆有关的各种图形 31

(二)立体几何 33

1．多面体 33

2．旋转体 35

3．多面体和旋转体主要元素间的关系 37

3．单位圆中三角函数线 40

2．三角函数定义 40

(一)三角函数与反三角函数 40

1．弧度与度的关系 40

三、平面三角 40

4．三角函数在各象限内的正负号 41

5．三角函数的图形 41

6．三角函数的基本性质 43

7．特殊角的三角函数值 43

8．反三角函数的图形 43

1．同角三角函数基本关系 46

(二)三角公式 46

9．反三角函数的基本性质主值 46

2．任意角三角函数诱导公式 47

3．三角函数相互关系 47

4．加法公式 47

5．倍角公式 49

6．半角公式 49

7．和差与积互化公式 50

8．三角补充公式 50

9．A+B+C=180°时A、B、C的三角函数间关系 51

10．化asinα+bcosα为一个角的一个函数的形式 52

11．反三角函数恒等式 52

(三)解斜三角形 53

1．正弦定理 53

2．余弦定理 53

3．射影定理 53

4．正切定理 53

5．半角定理 53

6．斜三角形的解法 54

(四)三角方程 55

1．最简三角方程的通解 55

2．一般三角方程的解法 55

四、平面解析几何 55

(一)基本问题 55

1．坐标系与坐标变换 55

2．三个基本公式 56

5．两直线之间的关系 57

3．点到直线的距离 57

4．两平行直线间的距离 57

2．直线方程 57

1．直线的斜率 57

(二)直线 57

6．三点共线与三线共点 62

(三)圆锥曲线 62

1．圆 62

2．椭圆 65

3．双曲线 67

4．抛物线 70

5．圆锥曲线统一定义 73

(四)一般二次曲线 74

1．二次曲线的切线与法线 74

2．二次曲线的不变量 74

3．二次曲线的分类 74

4．二次曲线y2=ax2+bx+c的几种情况 75

8．笛卡尔叶形线 76

7．环索线 76

6．尼克米德蚌线 76

5．蔓叶线 76

4．箕舌线 76

2．半立方抛物线 76

1．立方抛物线 76

(五)重要平面曲线 76

3．概率曲线 76

13．外摆线 77

16．蚶线 77

15．心脏线 77

14．蚌线 77

12．星线形(内摆线的一种) 77

11．内摆线 77

10．旋轮线(摆线) 77

9．悬链线 77

17．圆渐开线 78

18．曳物线 78

19．弹道曲线 78

20．阿基米德螺线(等速螺线) 78

21．对数螺线(等角螺线) 78

22．双曲螺线 78

26．四叶玫瑰线 79

25．三叶玫瑰线 79

24．双纽线 79

23．连锁螺线 79

Ⅱ 空间解析几何 80

一、矢量代数 80

1．矢量概念与线性运算 80

2．矢量的分解与空间直角坐标系 81

3．两个矢量的乘积 83

4．三个矢量的乘积 84

5．空间直角坐标系中一些常用公式 86

6．空间中坐标变换 88

1．空间中的平面 89

二、空间中的平面和直线 89

2．空间中的直线 91

3．直线和平面间的位置关系 93

4．关于直线、平面的一些常用问题 93

三、二次曲面 95

1．空间中曲面方程 95

2．空间中曲线方程 96

3．柱面、锥面、旋转曲面 96

5．椭球面 99

4．解析法讨论二次曲面的步骤 99

6．双曲面 100

7．抛物面 101

8．直纹二次曲面 102

9．二次曲面围成区域和交线举例 103

四、二次曲面的一般理论 104

1．二次曲面的中心 104

2．二次曲面的直径面与主径平面 105

3．不变量的概念 106

4．类型判别及简化方程 107

Ⅲ 极限与连续 110

一、实数集 110

(一)实数 110

1．全序性 110

2．稠密性 110

3．完备性 110

4．阿基米德性质 111

(二)反映实数集R完备性的几个等价条件 112

1．确界 112

3．有限覆盖定理 113

2．闭区间套定理 113

4．聚点 114

(一)一元函数与数列的定义 115

(二)数列与一元函数的极限概念 115

1．数列{an}极限的定义 115

2．函数极限的定义 115

二、一元函数的极限 116

(三)极限概念的统一描述 117

2．与一般有极限变量之间的关系 118

3．无穷小量的阶 118

(四)无穷小量 118

1．定义 118

4．无穷小量的运算 119

(五)无穷大量 119

1．定义 119

2．无穷大量与无穷小量的关系 119

2．局部有界性 120

1．唯一性 120

(六)有极限变量的性质 120

3．无穷大量的阶 120

4．无穷大量的运算 120

3．局部保号性 121

4．局部不等性 121

5．极限的四则运算法则 121

(七)关于极限的存在定理 121

1．两边夹迫敛定理 121

2．单调有界变量极限存在定理 122

3．柯西极限存在定理 122

(八)一些重要极限 123

4．用数列极限描述的极限存在定理 123

5．用上、下极限描述的权限存在定理 123

三、一元连续函数 124

(一)一元函数连续性概念 124

1．函数在点x＝x0连续的定义 124

2．函数在点x0单侧连续的定义 125

3．函数在区间连续的定义 125

(二)一元函数的间断点及其分类 125

2．局部保号性 127

(三)一元函数在连续点的性质 127

1．局部有界性 127

2．最值存在性 128

1．反函数定义 128

4．一致连续性 128

3．介值性 128

(五)一元函数反函数及其连续性 128

1．有界性 128

(四)在闭区间上连续函数的性质 128

4．复合函数的连续性 128

3．四则运算性质 128

2．反函数存在准则 129

3．反函数连续定理 129

四、多元函数及其连续性 129

(一)n维欧几里得空间的概念 129

(二)n维点集 130

1．基本概念 130

2．基本定理 131

1．n元函数的定义 132

(三)多元函数及其极限与连续性 132

2．n元函数极限的定义 133

3．n元函数极限定义的等价条件 133

4．n元函数在一点有极限的准则 134

5．n元函数的累次极限 134

6．n元函数的连续性概念 135

7．n元连续函数的四则运算法则 136

8．复合函数的连续性 136

9．在有界闭区域上连续多元函数的性质 137

(一)概念与运算 138

1．导数的概念 138

Ⅳ 微分学 138

一、一元函数微分学 138

2．微分的概念 139

3．基本法则 140

4．导数与微分公式 142

5．高阶导数与高阶微分 144

6．一些函数的n阶导数公式 146

2．拉格朗日中值定理 147

3．柯西中值定理 147

(二)微分学中值定理 147

1．洛尔中值定理 147

4．泰勒公式 148

5．洛比塔法则 150

(三)导数与微分的应用 152

1．导数作为切线斜率的初步应用 152

2．微分用于近似计算 153

3．函数的单调性 153

4．函数的极值 153

6．渐近线 154

5．函数的凹向及拐点 154

7．几个函数的图象 155

8．弧的微分与曲率 155

二、多元函数微分学 157

(一)概念与运算 157

1．二元函数偏导数概念 157

2．n元函数偏导数定义 158

3．复合函数的微分法 158

4．高阶偏导数 159

5．二元函数的全微分 160

6．n元函数的全微分 162

(二)多元函数中值定理与泰勒公式 164

1．中值定理 164

2．多元函数的泰勒公式 164

(三)隐函数定理 165

1．二元函数的隐函数存在定理 165

2．多元函数的隐函数存在定理 166

3．雅可比行列式 166

4．方程组的隐函数存在定理 168

1．几何上的应用 169

(四)多元函数微分学的应用 169

2．二元函数的极值 171

3．多元函数的条件极值 172

Ⅴ 积分学 174

一、不定积分 174

(一)原函数与不定积分 174

1．原函数 174

2．不定积分 174

3．基本积分公式 174

4．不定积分法则 175

(二)有理函数的不定积分 176

1．有理函数的不定积分 176

2．可化为有理函数的不定积分 176

(三)不定积分表 177

1．含a+bu的有理式 177

2．含a2±b2u2的有理式 178

3．含(a+bu)~(1/2)的式子 179

4．含(u2±a2)~(1/2)的式子 180

5．含(a2-u2)~(1/2)的式子 182

6．含(2au±u2)~(1/2)的式子 184

7．二项简化公式 185

8．含a+bu±cu2(c＞0)的式子 186

9．其他代数式 187

10．指数式与对数式 190

11．三角式 190

12．三角简化公式 192

13．反三角函数 193

14．双曲函数 194

1．定积分的概念 195

(一)定积分的概念及其存在性 195

二、定积分 195

2．可积的条件 196

3．可积函数族 196

(二)定积分的性质 197

1．可分性与补充定义 197

2．定积分的不等式 197

3．定积分中值定理 198

4．奇偶性、周期性的利用 199

3．分部积分法 199

2．换元积分法 199

1．基本公式(牛顿—莱布尼兹公式) 199

(三)定积分的计算 199

(四)广义积分 200

1．无穷区间的广义积分 200

2．无界函数的广义积分 201

(五)含参数的积分 202

1．含参数的常义积分 202

2．含参数的广义积分 202

(六)定积分表 204

1．梯形法 208

2．辛卜生公式 208

(七)定积分的近似计算 208

三、多重积分 209

(一)二重积分 209

1．二重积分的概念 209

2．二元函数的可积条件 209

3．可积的二元函数类 210

4．二重积分的性质 210

5．二重积分的计算 210

1．三重积分化为累次积分 212

(二)三重积分 212

2．三重积分的换元积分法 213

(三)n重积分 214

1．n重积分化为n次积分 214

2．n重积分的换元积分法 215

(四)曲线积分 215

1．第一型曲线积分 215

2．第二型曲线积分 216

3．平面上的曲线积分 217

4．曲线积分与路径无关的条件 218

(五)曲面积分 219

1．第一型曲面积分 219

2．第二型曲面积分 220

(六)多重积分、曲线积分、曲面积分之间的关系 223

1．平面曲线积分与二重积分的关系(格林公式) 223

2．曲线积分与三重积分的关系(奥斯特洛格拉特斯基—高斯公式) 223

3．曲线积分与曲面积分的关系(斯托克斯公式) 223

(七)积分的应用 223

1．求面积 223

2．求体积 225

3．n维欧氏空间的超立方体与超球体 226

4．求重心 227

5．求转动惯量 228

6．求液体压力 228

7．求变力所做的功 229

四、场论初步 229

1．场 229

2．梯度场与方向导数 229

3．散度场 230

4．旋度场 231

5．拉普拉斯算子在球坐标系和柱坐标系中的表达式 233

Ⅵ 无穷级数与无穷乘积 234

一、无穷级数 234

(一)常数项级数 234

1．基本概念 234

2．基本性质 234

3．正项级数 235

4．任意项级数 237

2．收敛的必要条件 238

3．累级数 238

1．基本概念 238

(二)二重级数 238

4．二重级数与累级数的关系 239

5．正项级数 239

6．绝对收敛级数 239

(三)函数项级数 240

1．基本概念 240

2．一致收敛判别法 240

1．基本概念与基本性质 241

(四)幂级数 241

3．和函数的性质 241

2．函数的幂级数展开式 242

(五)傅立叶级数 253

1．正交函数系 253

2．任意函数在各种区间上的傅立叶级数 254

3．奇函数展为正弦级数 255

4．偶函数展为余弦级数 256

5．傅立叶系数的性质 256

8．函数的傅立叶级数展开式表 257

7．傅立叶级数的收敛定理 257

6．傅立叶级数的逐项积分和逐项微分 257

9．两个三角函数的求和公式 264

10．几个逼近定理 264

二、无穷乘积 265

1．基本概念 265

2．收敛判别法 265

3．函数项无穷乘积的一致收敛 266

4．无穷乘积展开式表 266

2．一元n次方程、根 268

1．数域 268

3．最大公因式 268

一、多项式与代数方程 268

(一)基本概念 268

Ⅷ 高等代数 268

4．最小公倍式 269

5．不可约多项式 269

(二)一般性质 269

1．代数学基本定理 269

2．单根与重根 270

3．实根与复根 270

4．整数根与有理数根 270

5．因式分解 270

6．根与系数的关系 271

(三)三次方程 271

1．x3-1＝0 271

2．x3+px+q＝0 272

3．x4+bx3+cx2+dx+e＝0 273

2．ax4+bx2+cx2+bx+a＝0 273

1．ax4+cx2+d＝0 273

(四)四次方程 273

3．x3+ax2+bx+c＝0 273

4．阿倍耳定理 274

(五)多元多项式 274

1．多元多项式 274

2．对称多项式 274

3．子式、代数余子式 276

2．n阶行列式 276

1．逆序 276

(一)基本概念 276

二、行列式 276

(二)行列式的性质 277

(三)几个常用的行列式 278

1．对角线行列式 278

2．三角形行列式 278

3．带形行列式 278

2．三阶行列式 279

1．二阶行列式 279

3．n阶(n≥4)行列式 279

4．范德蒙行列式 279

(四)行列式的计算 279

三、矩阵 280

(一)矩阵 280

1．矩阵 280

2．零矩阵 281

3．负矩阵 281

4．单位矩阵 281

3．矩阵与数量乘法 282

4．矩阵的乘法 282

1．矩阵的相等 282

2．矩阵的加减法 282

(二)矩阵的代数运算 282

5．矩阵的转置 283

(三)初等变换、初等矩阵 283

1．初等变换 283

2．初等矩阵 284

3．等价矩阵 285

3．在矩阵运算中秩的估计 286

2．矩阵秩的求法 286

1．矩阵的秩 286

(四)矩阵的秩 286

(五)逆矩阵 287

1．逆矩阵 287

2．逆矩阵的性质 287

3．逆矩阵的求法 287

3．准对角矩阵 288

1．对角矩阵 288

(七)几个特殊矩阵 288

2．分块矩阵运算规律 288

1．分块矩阵 288

(六)分块矩阵 288

2．对称矩阵与反对称矩阵 290

3．复共轭矩阵 291

4．埃尔米特矩阵与反埃尔米特矩阵 291

5．正交矩阵 291

6．酉(U)矩阵 292

四、线性方程组 292

(一)向量空间 292

1．n维向量空间 292

2．向量组的相关性 293

3．等价向量组 295

4．极大线性无关组与向量组的秩 295

(二)线性方程组 296

1．基本概念 296

2．非齐次线性方程组 297

3．齐次线性方程组 299

五、特征值、特征向量 300

1．特征值、特征向量 300

3．特征向量的求法 301

2．特征矩阵 301

4．特征值、特征向量的性质 302

六、矩阵的相似对角形 303

1．相似矩阵 303

2．相似矩阵的性质 303

3．矩阵与对角矩阵相似的充要条件 304

4．实对称矩阵的对角化 304

七、λ-矩阵 305

1．λ-矩阵 305

3．不变因子与初等因子 306

2．等价 306

4．λ-矩阵的标准形 307

5．若当标准形 309

6．矩阵的最小多项式 310

八、二次型 311

(一)二次型及其矩阵 311

1．二次型 311

2．线性变换 312

3．合同矩阵 312

2．二次型化标准形的方法 313

(二)二次型的标准形 313

1．二次型的标准形式 313

3．用正交变换化实二次型为标准形式 314

4．规范形 314

(三)实二次型分类 315

1．正定二次型 315

2．负定二次型 315

3．半正定、半负定、不定二次型 316

2．性质 317

1．定义 317

(一)线性空间 317

九、线性空间 317

3．基、维数与坐标 318

4．基变换与坐标变换 318

(二)线性子空间 319

1．线性子空间 319

2．子空间的交与和 319

(三)线性空间的同构 320

3．子空间的直(接)和 320

十、线性变换 321

1．线性变换 321

2．线性变换的运算 322

3．线性变换的矩阵 322

4．线性变换的值域与核 324

十一、欧氏空间与酉空间 324

1．欧氏空间基本概念 324

2．度量矩阵 325

4．正交变换 326

5．酉空间 326

3．标准正交基 326

十二、抽象代数基础 327

(一)代数系统 327

1．代数运算 327

2．代数系统 328

(二)群 328

1．群的概念 328

2．群的性质 329

3．子群 330

4．子群的倍集 330

6．群的同态与同构 331

5．不变子群、商群 331

7．循环群 332

(三)环 333

1．环 333

2．子环 335

3．理想 335

(四)域 335

1．域 335

2．子域 336

2．柯西—黎曼条件 337

1．极限、连续和可导 337

Ⅷ 复变函数 337

一、解析函数 337

3．欧拉公式 338

4．多值函数和黎曼面 340

二、柯西定理和柯西积分公式 343

1．复变积分 343

2．柯西定理 344

3．柯西积分 345

4．含复参变量的积分 346

1．外尔斯特拉斯二重级数定理 347

三、解析函数的级数表示 347

2．泰勒展式和罗朗展式 348

3．解析函数的内在性质 349

4．半纯函数的展开 350

5．平面流动 351

四、孤立奇点和留数 352

1．孤立奇点 352

2．留数 353

4．用留数计算实积分 354

3．留数定理 354

5．解析函数零点个数 356

6．某些级数求和 357

五、保角变换 357

1．解析函数的几何性质 357

2．黎曼存在唯一性定理 357

3．保角变换的基本原则 358

4．线性变换 358

5．其他初等变换 360

2．方程的阶数 363

4．方程的解 363

3．线性与非线性方程 363

Ⅸ 常微分方程 363

1．微分方程 363

(一)一般概念 363

一、一般概念与一阶方程的初等积分法 363

5．初值问题、通解与特解 364

6．方向场 364

2．化为可分离变量方程 365

1．可分离变量方程 365

(二)已按导数解出的一阶方程的初等积分法 365

3．线性方程 366

4．贝努里方程 367

5．黎卡提方程 367

6．全微分方程 367

7．积分因子的求法 368

4．引入参数的一般方法 369

3．不显含x的方程f(y，y′)＝0 369

2．不显含y的方程f(x、y′)＝0 369

1．不显含x、y的方程f(y′)＝0 369

(三)一阶隐方程的初等积分法 369

5．可将y解出的方程 y＝F(x，y′) 370

6．可将x解出的方程 y＝F(y，y′) 371

(四)奇解及其求法 371

1．奇解 371

2．c—判别曲线 371

2．F(x，y(n))＝0 372

1．y(n)＝f(x) 372

(一)几种可积类型 372

二、高阶微分方程 372

3．p—判别曲线 372

3．F(y(n)，y(n-1))＝0 373

4．F(y(n)，y(n-2))＝0 373

(二)几种可降阶的类型 374

1．F(x，y(k)．y(k+1)，…，y(n)＝0 374

2．F(y，y′，…，y(n))＝0 374

3．F(x，y，y′，…，y(n))＝0 374

2．函数的线性相关性与朗斯基行列式 375

1．解的存在唯一性定理 375

(三)n阶线性方程 375

3．n阶线性方程解的结构 376

4．n阶常系数齐次线性方程及欧拉方程的解法 376

5．n阶非齐次线性方程的解法 377

6．幂级数解法与广义幂级数解法 382

7．二阶线性方程的边值问题 384

三、微分方程组 389

(一)高阶方程(组)与一阶方程组的关系 389

1．首次积分 390

2．利用首次积分使方程组降维 390

(二)首次积分 390

(三)线性方程组 392

1．向量—矩阵记号 392

2．存在唯一性定理 393

3．向量函数的线性相关性 393

4．齐次、非齐次线性方程组解的结构 394

5．常系数齐次线性方程组 396

四、基本理论 400

(一)存在定理 400

6．常系数非齐次线性方程组 400

1．皮亚诺定理 401

2．柯西定理 401

(二)唯一性定理 401

1．皮卡定理 401

2．阿斯古特定理 402

(三)延展定理 402

1．解的延展与饱和解 402

2．延展定理 402

(一)一般概念 403

五、定性理论简介 403

1．动力学系统 403

1．局部李卜希兹条件 403

2．解对始值的连续性定理 403

(四)解对始值的连续性与可微性原理 403

3．解对始值的可微性定理 403

2．相空间与轨线 404

3．稳定性概念 404

(二)线性近似方法 406

1．常系数齐次线性系统 406

2．非线性自治系统 406

1．关于函数v的几个定义 407

3．霍尔维茨判别法则 407

(三)李雅普诺夫第二方法 407

2．李雅普诺夫定理 408

(四)二维定常系统在奇点附近的轨线族分布 410

1．常系数线性系统 410

2．非线性系统 413

3．庞卡莱—班狄克生方法 414

2．极限环稳定性的定义 414

1．极限环 414

(五)极限环 414

4．李安纳特方程 415

Ⅹ 偏微分方程 416

一、一般概念 416

(一)偏微分方程 416

1．偏微分方程(组) 416

2．方程(组)的阶 416

3．线性方程(组) 416

4．拟线性方程(组) 416

5．非线性方程(组) 417

(二)方程(组)的解 417

1．方程(组)的解 417

2．通解 417

3．特解与定解条件 417

3．混合问题 418

1．解的稳定性 418

(四)定解问题的适定性 418

2．边值问题 418

1．初值问题(柯西问题) 418

(三)定解问题 418

2．适定问题 419

3．不适定定解问题的典型例子 419

(五)线性方程的迭加原理 419

二、一阶方程 420

(一)一阶拟线性方程 420

1．含有两个自变量的情形 420

2．含有n(n≥2)个自变量的情形 423

(二)一阶非线性方程 425

1．含有两个自变量的情形 425

2．含有n(n≥2)个自变量的情形 427

3．法甫方程 429

4．完全解、奇异解、通解 431

三、二阶方程 434

(一)二阶半线性方程的分类 434

1．含有两个自变量的情形 434

2．含有n(n≥2)个自变量的情形 437

2．格林公式 440

1．共轭微分算子 440

(二)共轭微分算子与格林公式 440

(三)双曲型方程 441

1．波动方程 441

2．拉普拉斯双曲型方程 451

(四)椭圆型方程 454

1．边值问题的提法 454

2．泊松方程 455

4．基本解与基本积分公式 456

3．极值原理、边值问题解的唯一性与稳定性 456

5．格林函数 457

6．球域与半空间狄里赫勒问题的解 458

7．二维拉普拉斯方程 459

8．调和函数的基本性质 462

9．边值问题解的存在性 463

(五)抛物型方程 465

1．极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性 465

2．混合问题 467

3．柯西问题 470

(一)广义函数初步 471

四、广义函数初步与基本解 471

1．基本函数空间 472

2．广义函数空间 473

3．广义函数的运算和性质 474

(二)基本解 477

1．微分方程的基本解 477

2．祠西问题的基本解 478

3．其他类型的基本解 481

1．一般概念 482

一、一般概念与基本方法 482

Ⅺ 变分法 482

2．基本结论 483

二、固定边界的变分问题 485

1．极值的必要条件、欧拉方程 485

2．最简泛函?dx极值存在的充分条件 491

三、可动边界的变分问题 494

1．最简泛函?dx 494

2．J[y(x)，z(x))＝?dx型泛函 495

3．J[y(x)]＝?dx型泛函 496

1．等周问题 497

四、条件极值 497

3．φ(x，y1，…yn，y′1，…y′n)＝0型的约束 498

2．φ(x，y1，…yn)型的约束 498

Ⅻ 积分方程 501

一、一般概念 501

(一)积分方程 501

1．积分方程 501

2．线性积分方程 501

3．n维线性积分方程 502

(二)迭加原理 502

1．|λ|充分小的情形 503

二、第二类Fr方程、弗列德霍姆理论 503

(一)带连续核的方程 503

2．预解核、存在唯一性定理 504

3．弗列德霍姆理论 507

4．多维情形与有界核的情形 509

(二)带退化核的方程 510

1．退化核 510

2．解法 510

1．极性核 513

(三)带极性核的方程 513

2．弗列德霍姆定理 514

三、伏尔泰拉方程 515

1．第二类伏尔泰拉方程 515

2．第一类伏尔泰拉方程 518

四、实对称核与埃尔米特核的积分方程 519

(一)带实对称核的方程 519

1．特征值的存在性与基本性质 520

2．希尔伯特—史密特定理 521

3．核关于其特征函数系的展开 522

4．可化为带实对称核的方程 523

(二)带埃尔米特核的方程 524

1．特征值 524

2．特征函数 524

3．核的展开定理 524

4．希尔伯特—史密特定理 525

5．史密特公式 525

6．可化为埃尔米特核的方程 525

一、傅立叶变换 526

1．傅立叶积分 526

ⅩⅢ 积分变换 526

2．傅立叶变换 527

3．傅立叶变换的性质 527

4．卷积 528

5．相关函数 529

6．广义傅立叶变换 530

7．频谱分析 530

8．傅立叶变换简表 536

2．傅立叶正弦变换简表 539

3．半无限区间上的余弦变换 539

二、傅立叶正弦及余弦交换 539

1．半无限区间上的正弦变换 539

4．傅立叶余弦变换简表 540

5．有限区间上的正弦变换 540

6．有限傅立叶正弦变换简表 540

7．有限区间上的余弦变换 541

8．有限傅立叶余弦变换简表 542

2．三重傅立叶变换 543

1．二重傅立叶变换 543

三、重傅立叶变换 543

四、拉普拉斯变换 545

1．定义及存在定理 545

2．拉普拉斯变换的性质 545

3．拉普拉斯变换的主要公式补充 547

4．赫维赛德展开式 547

5．卷积及卷积定理 549

6．线性系统的传递函数 549

7．拉普拉斯变换简表 550

1．定义 556

五、梅林变换 556

2．梅林变换的主要公式 557

3．梅林变换简表 557

六、汉克尔变换 559

1．定义 559

2．汉克尔变换简表 559

ⅩⅣ 特殊函数 561

一、由含参变量或变上限的积分定义的特殊函数 561

1．伽马函效(Г—函数) 561

2．伯塔函数(В—函数) 562

4．正弦积分和余弦积分 564

3．误差函数 564

5．指数积分和对数积分 565

6．椭圆积分 566

二、由正交多项式定义的特殊函数 574

1．勒让德多项式 574

2．切比雪夫多项式 575

3．拉盖尔多项式 577

4．埃尔米特多项式 578

1．第一类贝塞耳函数 579

三、由无穷级数定义的特殊函数 579

2．第二类贝塞耳函数(诺伊曼函数) 582

3．第三类贝塞耳函数(汉克尔函数) 583

4．变型贝塞耳函数 585

四、其他特殊函数 588

1．贝努里多项式 588

2．勒让德函数 589

3．连带勒让德函数 590

4．球函数(球面谐函数) 591

5．由球贝塞耳方程引出的函数 592

ⅩⅤ 微分几何 594

一、曲线论 594

1．矢量分析 594

2．空间曲线的基本三棱形 598

3．曲线论的基本公式与自然方程 600

4．特殊曲线 603

二、曲面论 606

1．曲面表示法、曲面的切平面与法线 606

2．曲面的第一基本形式 609

3．曲面的第二基本形式、曲面上的曲率 611

4．可展曲面 615

5．曲面上重要的曲线和网 616

6．曲面论的基本定理 618

7．测地曲率、测地线 621

ⅩⅥ 实变函数 628

一、集 628

(一)集运算 628

1．集 628

2．并集与交集 628

4．上限集与下限集 629

3．差集与余集 629

(二)集的势 630

1．对等 630

2．势 631

3．可列集及其势 631

4．连续点集的势 633

5．势比较 635

(三)半序集 635

1．半序集 635

2．曹恩引理与策墨罗选择公理 636

二、n维欧几里得空间Rn中的点集 637

(一)开集、闭集、完备集 637

1．内点、聚点 637

2．开集、闭集、完备集 638

3．R1中的开集、闭集、完备集的构造 639

4．稠密集与疏朗集 639

2．隔离性定理 640

1．点集的距离 640

(三)点集的距离与隔离性 640

2．Gδ型集 640

3．波内尔集 640

1．Fσ型集 640

(二)Fσ型集、Gδ型集、波内尔集 640

三、Rn中的勒贝格测度 641

(一)(L)外测度 641

1．区间的体积 641

2．(L)外测度 641

2．(L)可测集及其测度的基本性质 642

1．(L)可测集 642

(二)(L)可测集 642

3．(L)可测集类 643

(三)乘积空间的测度 644

1．笛卡尔乘积 644

2．乘积空间Rp×Rq的测度 644

(四)引入(L)测度的另一方法 645

1．另一种定义法 645

2．两种定义法的等阶性 645

(一)集论 646

1．环 646

四、抽象测度论 646

2．σ—环 647

3．单调类 647

(二)环上的测度 648

1．集函数 648

2．环上的测度 648

3．测度空间 651

(三)测度的扩张 651

1．外测度 651

2．测度的扩张 652

(一)(L)可测函数 653

1．定义与例 653

3．勒贝格—斯蒂阶测度 653

五、(L)可测函数 653

2．基本性质 654

(二)(L)可测函数的构造 655

1．可测函数与简单函数的关系 655

2．可测函数与连续函数的关系 655

(三)(L)可测函数列的收敛 656

1．依测度收敛 656

1．测度有穷的(L)可测集上的有界(L)可测函数的(L)积分 657

(一)(L)积分概念 657

2．依测度收敛与几乎处处收敛的关系 657

六、(L)积分 657

(四)测度空间中的可测函数 657

2．(L)积分的一般定义 659

(二)(L)积分的性质 661

1．基本性质 661

2．积分与积限的交换 662

3．重积分与累次积分 665

1．单调函数 666

(三)(L)不定积分 666

2．有界变差函数 667

3．绝对连续函数 669

4．(L)不定积分 670

七、抽象积分 671

(一)测度空间上的积分 671

1．积分的定义 671

2．积分的性质 673

(二)勒贝格—斯蒂阶积分 673

1．度量空间 674

(一)基本概念与常用度量空间 674

ⅩⅦ 点集拓扑 674

一、度量空间 674

2．度量空间的拓扑概念 675

3．常用度量空间 677

(二)连续映射、拓扑映射 681

1．连续映射 681

2．拓扑映射 681

(三)各种度量空间 682

1．可分空间 682

2．完备空间 683

3．列紧空间与列紧集 685

二、拓扑空间 687

(一)基本概念 687

1．拓扑空间 687

2．拓扑基 688

3．拓扑空间中的基本概念与性质 689

(二)连续映射、拓扑映射 691

1．连续映射 691

2．拓扑映射 691

2．分离性公理 692

1．可数性公理 692

(三)可数性公理、分离性公理、连通性 692

3．连通性 693

(四)满足公理A1与T1的空间 695

1．基本性质 695

2．子集的聚点与收敛点列极限的关系 695

3．映射的连续性与收敛点列之间的关系 695

(五)满足公理A2与T1的空间 696

1．紧空间与紧集 696

2．三种列紧性 696

1．正则空间与正规空间的特征性质 697

3．紧性与三种列紧性的关系 697

(六)正则空间与正规空间、度量化定理 697

2．乌里松延拓定理 698

3．乌里松嵌入定理、度量化定理 698

(七)紧T2空间 699

1．紧集与闭集的关系 699

2．度量化 699

3．紧拓扑空间上的连续映射 699

1．线性空间 700

(一)赋范线性空间 700

ⅩⅧ 泛函分析 700

一、赋范空间与内积空间 700

2．赋范线性空间 701

3．巴拿哈空间 704

4．殆直交元 704

5．凸紧集上的不动点定理 705

(二)内积空间 705

1．内积空间 705

3．直交与直交投影 707

2．希尔伯特空间 707

4．直交系、贝塞耳不等式 708

5．完全标准直交系、巴塞伐尔等式 709

6．可分的无穷维希尔伯特空间 710

二、赋范空间的线性算子 711

(一)有界线性算子 711

1．定义与例子 711

2．有界性与连续性，算子的范数 712

3．有界线性算子空间 712

1．有界线性泛函的存在性 713

(二)对偶空间与对偶算子 713

2．对偶空间与对偶算子 715

3．弱收敛 717

(三)关于有界线性算子的几个基本定理 717

1．开映射定理、逆算子定理 717

2．闭图象定理 718

3．共鸣定理 719

(四)有界线性算子的谱 719

1．特征值与特征元 719

2．正则点与谱 720

3．有界线性算子谱的基本性质 721

(五)全连续线性算子的谱 722

1．全连续线性算子 722

2．黎斯—邵德尔理论 723

三、希尔伯特空间中的有界自共轭算子 724

(一)共轭算子 724

1．黎斯表示定理、希尔伯特空间的自共轭性 724

2．共轭算子 725

3．有界自共轭算子 726

1．正算子 727

2．投影算子 727

(二)有界自共轭算子的谱分解 727

3．有界自共轭算子的谱分解 728

(三)有界自共轭算子的谱 729

1．算子函数 729

2．有界自共轭算子的谱 730

3．全连续自共轭算子的谱分解 730

1．数的近似表示 731

2．有限差分、差商及中心差分 731

ⅩⅨ 计算方法 731

一、数值逼近 731

3．一般插值公式 733

4．埃尔米特插值、样条插值公式 735

5．正交多项式 737

6．实验曲线的拟合法 738

7．等距节点的求积公式 739

8．高斯型求积公式 740

9．高斯—拉盖尔、高斯—埃尔米特求积公式 741

1．消去法 744

二、数值代数 744

2．迭代法 749

3．方程的特征值与特征向量 751

三、常微分方程初值问题数值解法 751

1．常用的单步法 752

2．线性多步法 753

3．常微分方程组的数值解法 754

4．高阶微分方程的数值解法 756

1．椭圆型方程的差分方法 758

四、微分方程的差分方法 758

2．抛物型方程的差分方法 765

3．双曲型方程的差分方法 770

五、微分方程的变分方法 773

1．常微分方程的变分方法 773

2．二阶椭圆型方程的变分原理和里兹—加辽金方法 775

六、微分方程的有限元方法 778

1．插值和基函数 778

2．二阶椭圆型方程有限元方法的计算步骤 788

3．理论基础 797

4．四阶椭圆型方程边值问题的有限元方法 798

5．抛物型和双曲型方程的有限元方法 803

ⅩⅩ ALGOL算法语言 806

一、基本符号与源程序的结构 806

1．基本符号 806

2．数、标识符、变量、标准函数 807

3．类型与数组说明 809

4．源程序的结构 809

1．赋值语句 810

二、基本语句 810

2．条件语句 812

3．转向语句 813

4．循环语句 813

5．空语句 814

6．停语句 814

7．输入、输出语句 814

三、表达式、复合句、分程序、开关说明 814

1．表达式 814

3．分程序 815

2．复合语句 815

4．开关说明与开关命名符 816

四、过程 816

1．一般过程 816

2．函数过程 818

ⅩⅪ 概率论与数理统计 820

一、概率论 820

(一)事件与概率 820

1．随机事件 820

2．概率 821

(二)随机变量及其分布 825

1．随机变量与分布函数 825

2．分布函数的基本性质 825

3．离散型分布与分布列 825

4．连续型分布与分布密度函数 826

5．随机变量函数的分布 826

(三)随机矢量及其分布 827

1．随机矢量与联合分布函数 827

2．联合分布函数的基本性质 827

3．离散型随机矢量与连续型随机矢量 827

4．边际分布 828

5．条件分布与随机变量的独立性 829

6．随机矢量函数的分布 831

(四)随机变量的数字特征 831

1．数学期望与方差 831

2．协方差与相关系数 832

3．有关数学期望、方差的几个公式 832

4．高阶矩 833

5．变异系数、偏度系数与峰度系数 834

6．分位数与众数 834

2．矩母函数 835

(五)母函数与特征函数 835

1．概率母函数 835

3．特征函数 836

(六)常用分布简表 836

(七)大数定律与中心极限定理 842

1．大数定律 842

2．中心极限定理 842

3．经验分布 843

2．样本 843

(一)总体与样本 843

1．总体及其分布 843

二、数理统计方法 843

4．样本特征数 844

(二)总体参数的点估计 845

1．两种常用的求估计量的方法 845

2．估计量好坏的标准 847

(三)区间估计 847

1．置信区间与显著水平 847

2．正态总体参数的置信区间表 848

(四)假设检验 849

1．假设检验的步骤 849

2．正态总体参数的假设检验表 849

3．分布的假设检验 853

4．其他几种常用的假设检验方法 854

(五)方差分析 859

1．单因素方差分析 859

2．双因素方差分析 862

2．一元线性回归 867

1．最小二乘法原理 867

(六)回归分析 867

3．可化为线性回归的曲线回归 873

4．多元线性回归 877

5．多项式回归 879

6．秩相关 880

(七)正交试验设计 881

1．正交表与正交试验 881

2．用正交表安排试验的方法步骤 881

3．利用极差分析正交试验 884

4．正交试验的方差分析 886

ⅩⅫ 运筹学 893

一、规划论 893

(一)线性规划 893

1．概念和结论 893

2．解法 894

(二)整数规划 900

1．概念和结论 900

2．解法 900

2．解法 909

1．概念和结论 909

(三)非线性规划 909

二、图论 916

(一)最短有向路 916

1．概念和结论 916

2．解法 917

(二)最大流 923

1．概念和结论 923

2．解法 924

1．概念和结论 928

(三)最小支撑树 928

2．解法 929

三、统筹与优选 930

(一)统筹方法 930

(四)最大对集 933

1．概念和结论 933

2．解法 934

1．概念和结论 939

2．解法 939

1．概念和结论 944

(二)优选法 944

2．解法 945

四、对策论 947

1．概念和结论 947

2．解法 948

1．概念 952

2．解法 954

五、排队论 957

2．整除 958

1．函数[x]及{X} 958

一、整数 958

ⅩⅩⅢ 初等数论 958

3．素数 959

4．算术基本定理 959

5．带余数除法 959

6．最大公约数、最小公倍数 959

二、数论函数 960

1．几个常用的数论函数 960

2．狄里赫勒乘积 961

3．可乘函数 962

4．广义狄里赫勒乘积 963

三、素数分布的一些初等结果 965

四、同余式 965

1．同余式及其基本性质 965

2．剩余系 966

3．一次不定方程与一次同余方程 967

4．多项式的恒等同余 968

5．模p的高次同余方程 970

3．勒让德符号及其性质 971

2．性质 971

1．定义 971

五、二次剩余与高斯互反定律 971

4．雅可比符号及其性质 972

5．二次同余式的解数 972

六、指数、原根和指标 973

1．指数和原根 973

2．原根存在定理 974

3．模pα(p≥2)简化系的构造 974

4．指标与指标组 974

6．素数及其最小原根表 975

5．二项同余方程 975

七、连分数 980

1．简单连分数 980

2．完全商与不完全商 981

3．渐近分数与最佳渐近分数 981

4．周期连分数 983

5．d~(1/2)、e与π的连分数 983

6．费波那奇序列 984

1．常数表 985

ⅩⅩⅣ 数表 985

2．平方表 986

3．平方根表 989

4．立方表 994

5．立方根表 1000

6．阶乘数表 1007

7．倒数表 1008

8．三角函数表 1012

9．常用对数表 1020

10．自然对数表 1024

11．三角函数对数表 1029

12．弧度和度的换算表 1040

13．双曲函数表 1043

14．指数函数表 1044

15．等分圆周表 1046

16．常用计量单位表 1047

17．直径为d的圆周长表 1050

18．直径为d的圆面积表 1053

19．半径为1的弓形的弧长、拱高、弦长与面积表 1056

20．椭圆积分数值表 1062

21．Г函数表 1064

22．正态分布表 1066

23．t分布表 1072

24．X2分布表 1074

25．F分布表 1076

26．正交表 1080

27．拉丁字母及希腊字母 1094

附录 1096

本书出现的外国数学家译名表 1096