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第1章 引言 1

§1 动力系统及其实例 1

§2 预备知识 5

2.1 度量空间 6

2.2 Rn的映射 7

2.3 隐函数定理 11

练习一 12

第2章 离散动力系统初步 14

§1 周期轨与沙可夫斯基定理 16

§2 周期点的稳定性 18

§3 双曲不动点的稳定流形与不稳定流形 23

§4 不变集与吸引子 28

§5 拓扑共轭与符号动力系统 29

练习二 34

第3章 混沌 37

§1 混沌的概念 38

§2 虫口模型中的混沌 43

2.1 0＜λ≤1的情形 43

2.2 1＜λ＜3的情形 43

2.3 λ=3到λ=4的过渡 46

2.4 λ＞4的情形 57

3.1 奇怪吸引子 62

§3 Hénon映射 62

3.2 周期吸引子 69

3.3 同宿点和马蹄 70

§4 吸引子的特征 76

4.1 李雅谱诺夫指数 76

4.2 分形 81

4.3 柯尔莫哥罗夫熵 92

§5 时间序列的重构相空间 95

5.1 时间序列的重构相空间 95

5.2 关联维数 96

5.3 时间序列的Lyapunov指数 97

5.4 时间序列的确定性检验 99

5.5 时间序列的预测 101

练习三 107

第4章 常微分方程基本理论 110

§1 Rn中的常微分方程 110

§2 Rn中常微分方程的解 113

§3 Rn中微分方程解的性质 117

§4 Rn中的线性微分方程组 119

4.1 齐次线性微分方程组的通解 120

4.2 非齐次线性微分方程组的解 124

5.1 矩阵指数expA的定义和性质 126

§5 Rn中常系数线性微分方程组 126

5.2 基解矩阵的求法 127

练习四 133

第5章 微分方程的稳定性 136

§1 稳定性的概念 136

1.1 稳定性的各种定义 139

1.2 稳定性的几何解释 143

§2 自治微分方程的稳定性 145

2.1 常系数线性齐次微分方程组的稳定性 145

2.2 按一次近似判断稳定性 147

2.3 李雅谱诺夫第二方法 151

§3 李雅谱诺夫函数构造举例 157

3.1 常系数线性系统的李雅谱诺夫函数 157

3.2 类比法 159

3.3 能量函数法 162

3.4 变量分离法 163

3.5 变梯度法 164

§4 周期系数的线性方程 167

练习五 171

第6章 常微分方程动力系统 175

1.1 流 176

§1 自治微分方程所定义的动力系统 176

1.2 轨线的极限状态 178

§2 奇点 180

2.1 平面线性系统的奇点 180

2.2 平面非线性系统的双曲奇点 188

2.3 中心流形定理 193

§3 极限环 197

3.1 极限环的稳定性 198

3.2 Poincaré映射 201

3.3 闭轨的存在性 202

§4 分支与结构稳定性 206

4.1 几种典型的静态分支 208

4.2 动态分支 211

§5 同宿轨与Mé1nikov方法 216

§6 微分方程动力系统的混沌 222

§7 Lorenz方程 226

7.1 静态分支 227

7.2 Hopf分支 229

7.3 参量改变对系统动态的影响 230

7.4 奇异不变集合 232

练习六 234

参考文献 239