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第八章 多元函数微分法及其应用 1

第一节 多元函数的基本概念 1

一、区域 1

二、多元函数概念 3

三、多元函数的极限 6

四、多元函数的连续性 9

习题8—1 12

第二节 偏导数 13

一、偏导数的定义及其计算法 13

二、高阶偏导数 18

习题8—2 20

第三节 全微分及其应用 21

一、全微分的定义 21

二、全微分在近似计算中的应用 25

习题8—3 28

第四节 多元复合函数的求导法则 20

习题8—4 36

第五节 隐函数的求导公式 37

一、一个方程的情形 37

二、方程组的情形 39

习题8—5 43

第六节 微分法在几何上的应用 44

一、空间曲线的切线与法平面 44

二、曲面的切平面与法线 49

习题8—6 52

第七节 方向导数与梯度 53

一、方向导数 53

二、梯度 56

习题8—7 60

第八节 多元函数的极值及其求法 61

一、多元函数的极值及最大值、最小值 61

二、条件极值 拉格朗日乘数法 67

习题8—8 70

第九节 二元函数的泰勒公式 71

一、二元函数的泰勒公式 71

二、极值充分条件的证明 75

习题8—9 78

第十节 最小二乘法 78

习题8—10 84

总习题八 84

第九章 重积分 87

第一节 二重积分的概念与性质 87

一、二重积分的概念 87

二、二重积分的性质 91

习题9—1 93

第二节 二重积分的计算法 94

一、利用直角坐标计算二重积分 94

习题9—2(1) 103

二、利用极坐标计算二重积分 104

习题9—2(2) 110

三、二重积分的换元法 112

习题9—2(3) 118

第三节 二重积分的应用 119

一、曲面的面积 120

二、平面薄片的重心 123

三、平面薄片的转动惯量 125

四、平面薄片对质点的引力 126

习题9—3 127

第四节 三重积分的概念及其计算法 128

习题9—4 133

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 134

一、利用柱面坐标计算三重积分 134

二、利用球面坐标计算三重积分 136

习题9—5 141

第六节 含参变量的积分 143

习题9—6 149

总习题九 149

第十章 曲线积分与曲面积分 152

第一节 对弧长的曲线积分 152

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 152

二、对弧长的曲线积分的计算法 154

习题10—1 158

第二节 对坐标的曲线积分 159

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 159

二、对坐标的曲线积分的计算法 163

三、两类曲线积分之间的联系 168

习题10—2 170

第三节 格林公式及其应用 171

一、格林公式 171

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 176

三、二元函数的全微分求积 179

习题10—3 184

第四节 对面积的曲面积分 185

一、对面积的曲面积分的概念与性质 185

二、对面积的曲面积分的计算法 186

习题10—4 190

第五节 对坐标的曲面积分 191

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 191

二、对坐标的曲面积分的计算法 197

三、两类曲面积分之间的联系 200

习题10—5 203

第六节 高斯公式 通量与散度 204

一、高斯公式 204

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 209

三、通量与散度 211

习题10—6 213

第七节 斯托克斯公式 环流量与旋度 214

一、斯托克斯公式 214

二、空间曲线积分与路径无关的条件 219

三、环流量与旋度 221

四、向量微分算子 224

习题10—7 224

总习题十 226

第十一章 无穷级数 228

第一节 常数项级数的概念和性质 228

一、常数项级数的概念 228

二、收敛级数的基本性质 231

三、柯西审敛原理 235

习题11—1 236

第二节 常数项级数的审敛法 237

一、正项级数及其审敛法 237

二、交错级数及其审敛法 245

三、绝对收敛与条件收敛 247

习题11—2 252

第三节 幂级数 259

一、函数项级数的概念 254

二、幂级数及其收敛性 255

三、幂级数的运算 260

习题11—3 263

第四节 函数展开成幂级数 264

一、泰勒级数 264

二、函数展开成幂级数 267

习题11—4 275

第五节 函数的幂级数展开式的应用 275

一、近似计算 275

二、欧拉公式 280

习题11—5 281

第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 282

一、函数项级数的一致收敛性 282

二、一致收敛级数的基本性质 287

习题11—6 292

第七节 傅里叶级数 293

一、三角级数 三角函数系的正交性 293

二、函数展开成傅里叶级数 296

习题11—7 303

第八节 正弦级数和余弦级数 304

一、奇函数和偶函数的傅里叶级数 304

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 307

习题11—8 309

第九节 周期为2ι的周期函数的傅里叶级数 310

习题11—9 313

第十节 傅里叶级数的复数形式 314

习题11—10 317

总习题十一 317

第十二章 微分方程 320

第一节 微分方程的基本概念 320

习题12—1 325

第二节 可分离变量的微分方程 326

习题12—2 333

第三节 齐次方程 321

一、齐次方程 334

二、可化为齐次的方程 239

习题12—3 241

第四节 一阶线性微分方程 342

一、线性方程 342

二、伯努利方程 345

习题12—4 348

第五节 全微分方程 349

习题12—5 352

第六节 欧拉—柯西近似法 353

习题12—6 357

第七节 可降阶的高阶微分方程 357

一、y(n)＝f(x)型的微分方程 358

二、y″＝f(x，y′)型的微分方程 360

三、y″＝f(y，y′)型的微分方程 363

习题12—7 366

第八节 高阶线性微分方程 366

一、二阶线性微分方程举例 366

二、线性微分方程的解的结构 369

三、常数变易法 372

习题12—8 375

第九节 二阶常系数齐次线性微分方程 376

习题12—9 386

第十节 二阶常系数非齐次线性微分方程 387

一、f(x)＝eλxPm(x)型 388

二、f(x)＝eλx[Pι(x)cos wx+Pn(x)sin wx]型 390

习题12—10 394

第十一节 欧拉方程 395

习题12—11 397

第十二节 微分方程的幂级数解法 397

习题12—12 401

第十三节 常系数线性微分方程组解法举例 402

习题12—13 405

总习题十二 406

习题答案与提示 409