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绪论 1

第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数基本概念 1

一、实数与数轴 1

二、区间 1

三、常量与变量 2

四、函数的定义 2

五、函数的表示法 3

六、函数的几种特性 5

思考与练习1-1 6

第二节 初等函数 6

一、基本初等函数 6

二、复合函数 10

三、隐函数 11

四、反函数 12

五、初等函数 12

思考与练习1-2 13

第三节 曲线拟合与经验公式 13

一、实验曲线类似直线的情况--运用直线方程式 13

二、实验曲线不是直线的情况--运用直线化方法 15

思考与练习1-3 18

第四节 极限概念 18

一、数列的极限 18

二、函数的极限 21

思考与练习1-4 22

第五节 极限的性质与计算 23

一、无穷大与无穷小 23

二、极限的运算法则 24

三、两个重要极限 25

思考与练习1-5 28

第六节 函数的连续性 28

一、连续概念 28

二、函数的间断点 29

三、连续函数的运算性质 30

四、闭区间上连续函数的性质 31

思考与练习1-6 31

小结 31

习题一 32

第二章 导数与微分 36

第一节 导数的概念 36

一、导数的引出 36

二、导数定义 38

思考与练习2-1 39

三、可导与连续的关系 39

第二节 几个初等函数的导数公式 40

一、用定义求导 40

二、导数的基本公式 45

思考与练习2-2 45

第三节 导数的四则运算 45

一、函数代数和的导数 45

二、函数乘积的导数 46

三、函数之商的导数 46

思考与练习2-3 47

第四节 复合函数的导数 47

一、反函数的求导法 47

二、复合函数的求导法 49

三、隐函数的求导法 51

四、参数方程求导法 52

思考与练习2-4 53

第五节 高阶导数 54

思考与练习2-5 55

第六节 微分 55

一、微分的概念 55

二、微分的几何意义 57

三、微分的求法与微分形式的不变性 57

思考与练习2-6 59

第七节 微分在近似计算中的应用 59

思考与练习2-7 60

小结 60

习题二 62

第三章 导数和微分的应用 66

第一节 中值定理与罗必塔法则 66

一、拉格朗日中值定理 66

二、柯西中值定理 67

三、罗必塔法则 68

思考与练习3-1 70

第二节 泰勒公式 71

一、泰勒公式 71

二、常用的几个麦克劳林展开式 73

三、利用泰勒公式求函数的近似值 74

思考与练习3-2 75

第三节 函数的研究及作图 75

一、函数的单调性 76

二、函数的极值 77

三、函数曲线的凹凸与拐点 80

四、图形的描绘 81

五、导数的近似计算 84

思考与练习3-3 86

小结 87

习题三 88

第四章 不定积分 91

第一节 原函数与不定积分的概念 91

一、原函数 91

二、不定积分 92

三、不定积分的几何意义 92

四、不定积分的性质 93

思考与练习4-1 94

第二节 不定积分的基本公式 94

思考与练习4-2 96

第三节 换元积分法 96

一、第一换元积分法 97

二、第二换元积分法 102

思考与练习4-3 105

第四节 分部积分法 106

思考与练习4-4 109

第五节 有理函数的不定积分 109

思考与练习4-5 112

第六节 积分表的使用 112

思考与练习4-6 113

小结 114

习题四 115

第五章 定积分 116

第一节 定积分的概念 116

一、两个典型实例 116

二、定积分的定义 118

思考与练习5-1 121

第二节 定积分的性质 121

第三节 微积分基本公式 123

思考与练习5-2 123

一、上限是变量的定积分 124

二、牛顿--莱布尼兹公式 125

思考与练习5-3 127

第四节 定积分的换元积分法和分部积分法 127

一、定积分的换元法 127

二、定积分的分部积分法 129

思考与练习5-4 131

第五节 定积分的近似计算 131

一、矩形法和梯形法 132

二、抛物线法 133

三、数方格法 135

四、图解法 136

第六节 定积分的应用 138

一、微元法 138

二、平面图形的面积 140

三、旋转体的体积 144

四、平面曲线的弧长 146

五、变力作的功 147

六、液体的静压力 149

七、函数的平均值 150

八、定积分在医学上的应用举例 151

思考与练习5-6 152

第七节 广义积分 154

一、无穷区间上的广义积分 154

二、被积函数有无穷间断点的广义积分 155

三、Γ函数 157

思考与练习5-7 157

小结 158

习题五 159

第六章 微分方程 160

第一节 微分方程的基本概念 160

思考与练习6-1 162

第二节 一阶微分方程 162

一、可分离变量的微分方程 162

二、用微元分析法列方程 166

三、一阶线性微分方程 167

思考与练习6-2 171

第三节 微分方程数值解法 172

一、欧拉折线法 172

二、龙格--库塔法 174

思考与练习6-3 175

第四节 特殊类型的二阶微分方程 175

二、y？=f(x,y＇)型 176

一、y？=f(x)型 176

三、y？=f(y,y＇)型 178

思考与练习6-4 179

第五节 二阶常系数线性微分方程 179

一、二阶线性方程解的结构 180

二、二阶常系数线性齐次方程 181

三、二阶常系数线性非齐次方程 183

思考与练习5-5 183

思考与练习6-5 186

第六节 拉普拉斯变换法 187

一、拉普拉斯变换的概念和性质 187

二、求解常系数线性方程的拉氏变换法 189

思考与练习6-6 190

第七节 微分方程组 190

小结 193

思考与练习6-7 193

习题六 195

附表 拉普拉斯变换简表 198

第七章 多元函数微积分简介 199

第一节 多元函数概念 199

一、多元函数定义 199

二、空间直角坐标系 201

三、二元函数的极限与连续 206

思考与练习7-1 208

第二节 多元函数微分法 209

一、偏导数 209

二、全微分 212

三、复合函数微分法 214

四、二元函数的极值 216

思考与练习7-2 218

第三节 二重积分 219

一、二重积分的概念 219

二、二重积分的性质 222

三、三重积分的计算 222

四、二重积分的应用 229

思考与练习7-3 233

第四节 曲线积分 233

一、第一型曲线积分--对弧长的曲线积分 233

二、第二型曲线积分--对坐标的曲线积分 235

思考与练习7-4 239

小结 239

习题七 240

第八章 生物医学中的若干数学模型 243

第一节 数学模型的方法学 243

思考与练习8-1 244

第二节 药物代谢动力学中的房室模型 245

一、静脉注射的一室模型 245

二、周期性静脉注射的一室模型 247

三、静脉滴注的一室模型 251

四、血管外给药的一室模型 252

思考与练习8-2 254

第三节 细胞和群体生长的定量研究 255

一、指数增长模型 255

二、Logistic模型 256

三、Gompertz模型 260

四、被食者--食者系统的数学模型 262

思考与练习8-3 264

第四节 流行病学中的数学模型 264

一、无剔除的简单流行规律(SI模型) 264

二、有剔除的简单流行规律(SIR模型) 265

三、持续传染的最简单模型 268

四、催化模型及其在流行病学中的应用 270

思考与练习8-4 273

第五节 心血管生理学中的若干简单问题 273

一、心输出量的测定 274

二、心液的稳定流动 275

三、小血管中的轴流问题 277

思考与练习8-5 278

小结 278

习题八 279

参考文献 282

习题答案 283

附录Ⅰ积分表 300

附录Ⅱ中英文名词对照 306