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第一章 实分析基础 1

1集合与映射 1

1.1 集合及其运算 1

1.2 映射 3

1.3 可数集与不可数集 6

2实数与连续函数的某些性质 10

2.1 实数的完备性 10

2.2 开集与闭集 14

2.3 函数的一致连续性与函数列的一致收敛性 18

3可测集与可测函数 23

3.1 直线上集合的勒贝格测度 23

3.2 可测函数及其性质 28

3.3 可测函数与连续函数的关系 依测度收敛 31

4勒贝格积分 34

4.1 勒贝格积分的定义 34

4.2 勒贝格积分的性质 39

4.3 函数序列积分的收敛定理 42

5几个常用不等式 48

第二章 度量空间 53

1度量空间的定义 53

2度量空间的拓扑性质 58

2.1 开集、闭集与邻域 58

2.2 度量空间中点列的收敛性 61

2.3 映射的连续与一致连续性 64

3完备性 68

3.1 完备性概念 68

3.2 常见的完备空间 70

3.3 完备性等价命题 度量空间的完备化 72

4列紧性与紧性 76

4.1 紧性 76

4.2 列紧性与全有界性 79

4.3 紧集上连续泛函的性质 84

5可分性 86

第三章 赋范线性空间及其上的线性算子 91

1赋范线性空间与Banach空间 91

1.1 线性空间、线性算子与线性泛函 91

1.2 赋范线性空间与Banach空间 95

1.3 赋范线性空间的基本性质 97

1.4 有限维赋范线性空间的性质与特征 99

2有界线性算子 105

2.1 有界线性算子及其范数 105

2.2 有界线性算子的空间 111

2.3 紧算子 114

3有界线性泛函 118

3.1 有界线性泛函与共轭空间 118

3.2 某些具体空间上有界线性泛函的表示 121

4泛函分析的几个基本定理简介 124

5共轭空间与伴随算子 131

5.1 二次共轭空间与自反空间 131

5.2 伴随算子及其性质 132

6弱收敛与弱＊收敛 135

6.1 点列的强收敛与弱收敛 136

6.2 泛函序列的强收敛与弱收敛 138

7有界线性算子谱理论初步 140

7.1 谱的概念及基本性质 141

7.2 Riesz-Schauder理论简介 146

第四章 Hilbert空间及其上的线性算子 150

1 Hilbert空间的几何学 150

1.1 定义与基本性质 150

1.2 正交分解与投影定理 155

1.3 内积空间中的正交系 158

1.4 可分Hilbert空间的模型 164

2 Hilbert空间上的有界线性泛函 167

3 Hilbert空间上的伴随算子和自伴算子 170

3.1 伴随算子 170

3.2 自伴算子 173

4 Hilbert空间上的几种算子 176

4.1 投影算子 176

4.2 酉算子 179

4.3 正常算子 181

5 Hilbert空间上自伴算子的谱性质 183

第五章 泛函分析的一些应用 191

1压缩映射原理及其应用 191

1.1 压缩映射原理 191

1.2 应用举例 193

2不动点定理及其应用 200

2.1 Brouwer与Schauder不动点定理 200

2.2 应用举例 200

3线性积分方程 207

3.1 基本概念 207

3.2 迭核和第二种Fredholm型积分方程的解 208

3.3 第二种Volterra型积分方程的解 211

3.4 第一种Volterra型积分方程的解的存在性与惟一性 212

4最佳逼近与投影定理的应用 215

4.1 最佳逼近的存在性与惟一性 215

4.2 C[a，b]中最佳逼近的惟一性与Chebyshev多项式 217

4.3 投影定理的应用举例 220

4.4 最小二乘法 221

答案与提示 224

参考书目 234

再版后记 235