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第一章 代数的回顾 1

1.1 群 1

1.2 元素的阶 2

1.3 循环群 2

1.4 子群 3

1.5 环 4

1.6 理想 5

1.7 极大理想 5

1.8 商环 5

1.10 域 7

1.9 同态 7

1.11 域的特征 8

1.12 向量空间 8

1.13 代数 9

1.14 交换环上的多项式 10

1.15 环Z上的分圆多项式 10

1.16 特征为p的域K上的分圆多项式 12

1.17 中国剩余定理 12

习题 13

第二章 有限域的基本性质 16

2.1 Wedderburn定理 16

2.3 有限域的乘法群 19

2.2 Fermat小定理 19

2.4 有限域的加法群 21

2.5 具有相同元素个数的有限域的同构 21

2.6 有限域的比较与存在性 22

习题 26

第三章 Galois理论观点下的有限域 28

3.1 Galois扩张 28

3.2 Galois扩张的基本性质 29

3.3 迹函数与范函数 32

3.4 广义迹多项式 33

4.2 命题 35

4.1 定义与命题 35

第四章 有限域中恒等元的n次根 35

4.3 命题 36

第五章 有限域上的不可约多项式 37

5.1 基本定理 37

5.2 分圆多项式的不可约性 43

5.3 多项式f（xp-x-b）的不可约性 45

5.4 多项式f（xp+x）的不可约性 46

5.5 扩域中的不可约性 47

5.6 用不可约多项式构造新的不可约多项式 48

5.7 二项式的不可约性 50

5.8 不可约多项式为本原多项式的情况 57

5.9 非明显复合的不可约多项式 59

习题 61

第六章 有限域上多项式的因式分解 65

6.1 Berlekamp定理 65

6.2 分圆多项式既约因子的次数 68

6.3 xn-1的因式分解 69

6.4 一个多项式为既约多项式幂的充要条件 72

习题 74

第七章 次正规多项式 77

7.1 基本概念 77

7.2 多项式xm-a的次正规性 79

7.3 多项式f（xp r-ax）的次正规性及推论 83

7.4 Fps上多项式f（xp 2r-axp r-bx）的既约性 102

7.5 多项式f（？aixp？）当m≥3时的可约性 106

7.6 有限域Fps上多项式f（？aixp？）的次正规性 113

7.7 多项式f（(xpr-ax)m）当m｜pr-1时在Fps上的次正规性 115

7.8 关于多项式f（xp2r-axpr-bx）在Fps的因式分解 119

习题 130

第八章 置换多项式 133

8.1 简单的例子 133

8.2 Dickson多项式 134

8.3 Fp的Hermite定理及Fq的Dickson定理 136

8.4 Fqr的q-置换多项式 139

习题 141

9.1 多项式互反律 143

第九章 互反律 143

9.2 Legendre-Gauss二次互反律 146

习题 152

第十章 有限域的特征标，Gauss和与Jacobi和 154

10.1 Abel有限群的特征标 154

10.2 有限域的加法和乘法特征标 157

10.3 Gauss和 159

10.4 两个特征标的Jacobi和 162

10.5 n个特征标的Jacobi和 164

习题 168

11.1 基本定理 170

第十一章 有限域上的方程，Weil估计 170

11.2 定理 174

习题 175

第十二章 离散对数函数与离散指数函数 177

12.1 离散对数函数 177

12.2 离散指数函数 179

习题 181

第十三章 线性可分多项式 183

13.1 定义 183

13.2 命题（Carlitz） 183

13.3 命题（Agou） 184

习题 186