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第一部分　微分方程式 1

单号习题答案 1

索引 1

第○章　绪论　 3

第一章　一阶微分方程式 13

1.0 引言 13

1.1 可分离的方程式 14

1.2 可分离微分方程式之应用 18

1.3 齐次和“近乎齐次”方程式 24

1.4 恰当微分方程式 33

1.5 积分因子和柏努利方程式 41

1.6 线性一阶微分方程式 52

1.7 黎卡廸方程式 57

1.8 RL和RC电路 63

1.9 存在性、唯一性及毕卡德迭代法 70

1.10　等斜线、方向场与图解 75

1.11　正交轨迹和斜交轨迹 79

第二章　线性二阶微分方程式 97

2.0 引言 97

2.1 线性二阶微分方程式：解的存在性及唯一性 98

2.2 线性齐次二阶微分方程式的理论 101

2.3 y″+ Ay′+By=0的通解若A2-4B≥0 110

2.4 复指数函数的背景 115

2.5 y″+ Ay′+By=0的通解，若A2-4B＜0 117

2.6 质块联结于弹簧上的阻尼和无阻尼自由运动 122

2.7 线性非齐次二阶微分方程式的理论 129

2.8 寻求y″+P(x)y′+Q(x)y=F（x）的特解 134

2.9 系于弹簧上之质块的强迫振荡分析 145

2.10 RLC电路和强迫阻尼弹簧运动的对比 154

2.11 降阶法 158

2.12 欧拉方程式 163

2.13 各方法的摘要 172

第三章　高阶微分方程式 183

3.0 引言 183

3.1 理论上的考虑 187

3.2 求解y(？)+A？-1y(？-1)+…+A1y′+A0y=0 194

3.3 解y(？)+A？-1y(？-1)+…+A1y′+A0y=F(x) 199

3.4 N阶欧拉型方程式 206

3.5 解法摘要 211

3.6 微分运算子 212

第四章 拉普拉氏转换 219

4.0 引言 219

4.1 拉普拉氏转换的定义 219

4.2 计算拉普拉氏转换 228

4.3 计算逆拉普拉氏转换式：第一部分 247

4.4 计算逆拉普拉氏转换式：第二部分——海夫塞德展开式 262

4.5 以拉普拉氏转换解典型的工程问题 271

4.6 摺积 283

4.7 积分方程式、移位和混合数据问题及单位脉冲 290

4.8 以拉普拉氏转换解具有多项式系数的微分方程式 300

第五章　微分方程式的级数解 321

5.1 引言 321

5.2 幂级数复习 321

5.3 微分方程式的幂级数解 330

5.4 弗氏法 344

第六章　贝索函数与雷建德多项式、史特姆-李吾维尔理论、本征函数展开式及振荡 359

6.0 引言 359

6.1 整数阶的贝索函数 359

6.2 非整数阶贝索函数 381

6.3 雷建德多项式 391

6.4 史特姆-李吾维尔理论和本征函数展开 400

6.5 史特姆分隔定理和史特姆比较定理 419

第七章　线性系统、非线性系统和稳定性 433

7.0 引言 433

7.1 使用微分运算子，藉消去法求解线性系统 433

7.2 以拉普拉氏转换求解方程式系统 441

7.3 非线性系统、相位平面、临界点和稳定性 445

第八章　微分方程式史摘要 469

第九章 向量与向量空间 471

第二部分　向量与矩阵　 471

9.1 向量的代数学与几何学 473

9.0 简介 473

9.2 向量的点积 483

9.3 向量的叉积 495

9.4 纯量三重积与向量恒等式 503

9.5 向量空间Rn 509

9.6 线性独立与维数 517

9.7 本章补充：抽象向量空间 523

10.1　矩阵的符号表示法与代数学 526

10.0　简介 535

第十章　矩阵与行列式 535

10.2　矩阵乘法与晶体中的漫步 547

10.3　某些特殊矩阵 553

10.4 基本列运算与基本矩阵 558

10.5 矩阵的简化型 566

10.6 矩阵的秩 574

10.7 线性方程组的解：齐次的情况 579

10.8 非齐次线性方程组的解 590

10.9 反矩阵 600

10.10　行列式：定义与基本性质 607

10.11　求行列式值的演算 622

10.12　行列式在电路上的应用 632

10.13　反矩阵的行列式公式 636

10.14　克拉玛法则：方程组的行列式解 639

10.15　本征值与本征向量 643

10.16　本征值与本征向量的计算观点 648

10.17　本征值在微分方程组上的应用 650

10.18　对角化 656

10.19　对角化在微分方程组上的应用 668

10.20　实数对称矩阵的本征值与本征向量 680

10.21　正交矩阵与实数对称矩阵的对角化 684

10.22　正交矩阵在实数二次式上的应用 689

10.23　么正矩阵、赫密特矩阵与反赫密特矩阵 695