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第1章 绪论 1

1.1 算法 1

1.1.1 算法的表述形式 2

1.1.2 算法常具有的基本特征 2

1.2 误差 5

1.2.1 误差的来源 5

1.2.2 误差的基本概念 6

1.2.3 有效数字 7

1.3 数值运算时误差的传播 8

1.3.1 一元函数计算的误差传播 8

1.3.2 多元函数计算时的误差传播 9

1.3.3 四则运算中误差的传播 9

1.3.4 设计算法时应注意的问题 10

1.3.5 病态问题和数值算法的稳定性 11

习题1 12

第2章 线性方程组的直接解法 14

2.1 引言 14

2.2 Gauss消元法 14

2.2.1 Gauss消元法的基本思想 15

2.2.2 Gauss消元法公式 15

2.2.3 Gauss消元法的条件 16

2.2.4 Gauss消元法的计算量估计 17

2.3 选主元的Gauss消元法 17

2.3.1 列主元消元法 18

2.3.2 全主元消元法 19

2.4.1 Gauss-Jordan消元法 20

2.4 Gauss-Jordan消元法 20

2.4.2 方阵求逆 21

2.5 矩阵的LU分解 22

2.5.1 矩阵的LU分解 22

2.5.2 直接LU分解 25

2.5.3 行列式求法 28

2.5.4 Crout分解 28

2.6 平方根法 29

2.6.1 矩阵的LDU分解 29

2.6.2 对称正定矩阵的Cholesky分解 29

2.6.3 平方根法和改进的平方根法 30

2.7 追赶法 32

2.8.1 向量范数 36

2.8 向量和矩阵的范数 36

2.8.2 矩阵范数 37

2.8.3 谱半径 38

2.8.4 条件数及病态方程组 39

习题2 43

第3章 线性方程组的迭代解法 47

3.1 迭代法的一般形式 47

3.2 几种常用的迭代法公式 47

3.2.1 Jacobi迭代法 47

3.2.2 Gauss-Seicel迭代法 49

3.2.3 SOR迭代法 51

3.3 迭代法的收敛条件 53

3.3.1 迭代法的一般形式的收敛条件 53

3.3.2 从矩阵A判断收敛 55

3.4 极小化方法 59

3.4.1 与线性方程组等价的极值问题 59

3.4.2 沿已知方向求函数的极小值 60

3.4.3 最速下降法 60

3.4.4 共轭斜向法 61

习题3 64

第4章 方阵特征值和特征向量计算 66

4.1 幂法和反幂法 66

4.1.1 幂法 66

4.1.2 幂法的其他复杂情况 68

4.1.3 反幂法 69

4.1.4 原点平移加速技术 70

4.1.5 求已知特征值的特征向量 71

4.2 Jacobi方法 72

4.2.1 平面旋转矩阵 73

4.2.2 古典Jacobi方法 75

4.2.3 过关Jacobi方法 76

4.3 QR方法 78

4.3.1 Householder变换 78

4.3.2 拟上三角矩阵 79

4.3.3 矩阵的正交三角分解 81

4.3.4 基本QR方法 82

习题4 83

第5章 非线性方程求根 85

5.1 二分法 85

5.2.1 迭代法的一般形式 87

5.2 迭代法 87

5.2.2 迭代法的收敛性 88

5.2.3 迭代法收敛速度 91

5.3 Newton迭代法 91

5.3.1 Newton迭代法 91

5.3.2 割线法 96

5.4 非线性方程组的求根 97

5.4.1 不动点迭代法 98

5.4.2 Newton法 100

5.4.3 Newton法的一些改进方案 101

习题5 103

第6章 插值法 105

6.1.1 线性插值 106

6.1 Lagrange插值 106

6.1.2 二次插值 108

6.1.3 n次插值 109

6.1.4 插值余项 110

6.2 Newton插值法 111

6.2.1 差商 111

6.2.2 Newton插值多项式 112

6.3 差分插值 115

6.3.1 差分的概念 115

6.3.2 差分的性质 116

6.3.3 常用差分插值多项式 116

6.4 Hermite插值 118

6.4.1 带一阶导数的Hermite插值 119

6.4.2 两种常用的三次Hermite插值 121

6.5.1 Runge振荡现象 123

6.5 分段插值 123

6.5.2 分段线性插值 124

6.5.3 分段三次Hermite插值 125

6.6 样条插值 126

6.6.1 样条插值的基本概念 127

6.6.2 三转角插值法 127

习题6 130

第7章 数据拟合和最佳平方逼近 133

7.1 拟合和逼近的概念 133

7.2 数据拟合 134

7.2.1 最小二乘函数拟合 134

7.2.2 多项式拟合 135

7.3.1 函数的最佳平方逼近 140

7.3 最佳平方逼近 140

7.3.2 最佳平方逼近多项式 141

习题7 145

第8章 数值积分与数值微分 148

8.1 求积公式 148

8.1.1 问题的提出 148

8.1.2 数值积分的基本思想 148

8.1.3 代数精度 149

8.1.4 插值型求积公式 149

8.2 Newton-Cotes公式 150

8.2.1 Newton-Cotes公式 150

8.2.2 常见的Newton-Cotes公式 151

8.3.1 复化梯形公式 154

8.3 复化求积公式 154

8.3.2 复化Simpson公式 155

8.3.3 复化Cotes公式 156

8.3.4 变步长方法 157

8.4 Rombcrg求积公式 158

8.4.1 Richardson外推法 158

8.4.2 Romberg积分法 159

8.5 Gauss求积公式 161

8.5.1 Gauss求积公式及其性质 161

8.5.2 常见的Gauss型求积公式 162

8.5.3 复化Gauss型求积公式 168

8.6 数值微分 169

8.6.1 数据的数值微分 169

8.6.2 函数的数值微分 171

习题8 172

第9章 常微分方程的数值解法 175

9.1 引言 175

9.2 Euler方法 176

9.2.1 Euler方法的推导 176

9.2.2 几何意义 177

9.2.3 Euler方法的改进 177

9.3 Runge-Kutta方法 180

9.3.1 R-K方法的构造 180

9.3.2 四阶经典R-K公式 182

9.3.3 步长的选取 184

9.4 线性多步法 185

9.4.1 线性多步法的一般形式 185

9.4.2 利用数值积分构造线性多步法 188

9.5 高阶的预测-校正公式 189

9.5.1 四阶Adams预测-校正公式 190

9.5.2 局部截断误差估计和修正 191

9.5.3 修正的Adams预测-校正法 191

9.6 一阶常微分方程组与高阶常微分方程 192

9.6.1 一阶常微分方程组 192

9.6.2 高阶常微分方程 193

9.7 收敛性与稳定性 194

9.7.1 收敛性 194

9.7.2 稳定性 194

习题9 196

第10章 Matlab软件与数值计算 198

10.1 矩阵与数组 198

10.2.2 多项式函数 201

10.2 函数运算和作图 201

10.2.1 基本初等函数 201

10.2.3 矩阵函数 202

10.2.4 绘图命令 207

10.2.5 Matlab编程 210

10.3 线性方程组的数值解 212

10.3.1 直接法 212

10.3.2 迭代法 213

10.3.3 迭代法收敛理论 218

10.3.4 SOR法的松弛因子 220

10.3.5 病态方程组和条件数 222

10.4 方阵的特征值和特征向量 223

10.4.1 幂法 223

10.4.2 古典Jacobi旋转法 224

10.4.3 基本QR算法 226

10.4.4 Matlab中求特征值和特征向量的命令 228

10.5 方程和方程组求根 229

10.5.1 二分法 229

10.5.2 Newton法 230

10.5.3 Matlab关于方程（组）求根的命令 231

10.6 插值方法 233

10.6.1 Lagrange插值 233

10.6.2 Newton插值 233

10.6.3 用拟合函数polyfit作插值 234

10.6.4 Matlab中的插值命令 235

10.7 数据拟合与函数逼近 237

10.7.1 多项式数据拟合 237

10.7.2 非线性拟合 238

10.7.3 最佳平方逼近 240

10.8 数值积分 242

10.8.1 非复化的数值积分 242

10.8.2 复化数值积分计算 243

10.8.3 Romberg积分计算 245

10.8.4 Matlab中的积分公式 246

10.9 常微分方程初值问题数值解 247

10.9.1 单步法 248

10.9.2 线性多步法 250

10.9.3 预测-校正法 254

10.9.4 Matlab中求解常微分方程初值问题数值解的命令 255

习题参考答案或提示 257

参考文献 265