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第一章　函数极限连续函数 1

一、数学史料 1

二、教学基本要求 3

三、释疑解惑 3

1．为什么反三角函数用arc，而反双曲函数用ar表示？ 3

2．若函数y=f（u）与u=g（x）均无奇偶性，则复合函数f［g(x)］必无奇偶性吗？ 4

3．关于极坐标系 5

4．如何正确理解数列极限的ε－N定义？ 6

5．如何正确理解复合函数的极限的定理？ 7

6．求极限时，何时要考虑左、右极限？ 8

7．求极限时，其加减运算能否用各自的等价无穷小代换？ 9

8．无穷多个无穷小的乘积一定是无穷小吗？ 10

9．分段函数一定不是初等函数吗？ 11

10．综述求极限有哪些方法？ 12

11．证明极限不存在有哪些方法？ 24

12．函数仅在一点连续可能吗？ 25

13．闭区间上连续函数的性质，什么条件下在开区间上也适用？ 25

四、典型题型分析 26

1．求函数的定义域 26

2．求函数的表达式 27

3．求反函数 28

4．函数的复合 29

5．已知函数的极限值，求函数中的常数和由其导出的其他极限 30

6．求无穷项之和的极限 33

7．求无穷项之积的极限 35

8．求由递推关系给出的数列的极限 35

9．求无穷小的阶 40

10．函数的连续性与间断性 41

11．根的存在性证明 43

1-2　映射与函数 45

1-3　极限 45

1-1 集合 实数系 45

五、习题解难 45

1-4　连续函数 49

六、考研题选解 53

七、综合测试题和测试题答案或提示 58

第二章　一元函数微分学及其应用 62

一、数学史料 62

二、教学基本要求 63

三、释疑解惑 64

1．何时用函数的导数定义求函数的导数？ 64

2．函数在一点可导，与函数在该点的邻域内的连续性、可导性有何关系？ 67

3．如何求分段函数的导数？ 68

4．函数单调递增区间与单调递减区间的分界点一定是函数的极值点吗？ 70

5．可导函数的极值点是否一定是其单调递增区间与单调递减区间的分界点？ 70

6．关于导函数的介值性 71

7．用洛必达法则求未定式极限要注意些什么问题？ 72

8．如何证明根的存在性？ 75

9．证明函数不等式有哪些方法？ 79

10．证明中值等式、不等式有哪些方法？ 83

1．用导数定义求函数的导数 91

四、典型题型分析 91

2．求函数的微分 92

3．复合函数的链式求导法则 94

4．求高阶导数 95

5．隐函数求导 97

6．参数方程求导 99

7．对数求导法 100

8．相关变化率问题 101

9．用洛必达法则求极限 103

10．函数展开为泰勒公式 104

11．用带皮亚诺型余项的泰勒公式计算函数极限 105

12．用泰勒公式求高阶导数 107

13．验证中值定理的正确性 108

14．求中值ξ 109

15．证明数值不等式 111

16．判定函数的单调性 112

17．判定函数的极值与最值 113

18．函数的凸性与拐点的判定 117

19．求曲线的渐近线 119

20．弧微分与曲率 120

2-1　导数与微分的概念 121

五、习题解难 121

2-2　微分法则 122

2-3 高阶导数与高阶微分 124

2-4 隐函数和由参数方程确定的函数的微分法 125

2-5 导数和微分的应用 126

2-6　微分中值定理 129

2-7　洛必达法则 133

2-8　函数单调性的判定 136

2-9　函数极值和最值的判定 137

2-10 函数的凸性及其判别法 142

2-11 曲线的渐近线 144

2-12　弧微分与曲率 145

六、考研题选解 146

七、综合测试题和测试题答案或提示 157

第三章　一元函数积分学及其应用 160

一、数学史料 160

二、教学基本要求 161

三、释疑解惑 161

1．函数f（x）在区间Ⅰ内有原函数，则f（x）在Ⅰ内一定连续吗？ 161

2．函数可积和存在原函数有何关系？ 162

3．如何正确理解定积分的定义？ 162

4．设f（x）在［a,b］上可积，则F(x)=？f(t)dt一定可导吗？ 163

5．如何用定积分定义求定积分？ 165

6．不定积分和定积分的第二换元法有何不同？ 166

7．怎样利用函数的奇偶性与周期性计算定积分？ 167

8．怎样计算被积函数含有绝对值、最值等符号的定积分？ 168

9．积分中值定理有哪些应用？ 170

10．证明积分等式和不等式有哪些方法？ 173

11．用微元法为何有两个要求？ 182

四、典型题型分析 183

1．估计定积分的值 183

2．关于积分上限的函数 184

3．用定积分定义求和式极限 189

4．求分段函数的不定积分 191

5．已知函数的原函数求函数 192

6．用直接积分法求不定积分 193

7．用凑微分法求积分 193

8．用第二换元法求积分 199

9．求分段函数的定积分 204

10．利用分部积分法求积分 205

11．抽象函数的不定积分 211

12．用定积分公式计算定积分 213

13．求有理函数的不定积分 214

14．求简单无理函数的不定积分 216

15．求三角函数有理式的不定积分 218

16．函数的表达式中含有定积分，求函数 220

17．求含极限变量的定积分的极限 221

18．求反常积分 223

19．反常积分敛散性的判定 226

20．定积分的应用 227

五、习题解难 232

4-1 定积分的概念与性质 232

4-2　微积分学基本定理 234

4-3　不定积分 237

4-4　基本积分法 238

4-5　三角函数的有理式的积分和综合题 241

4-6　定积分的应用 248

4-7　反常积分 254

六、考研题选解 256

七、综合测试题和测试题答案或提示 267

第四章 向量代数与空间解析几何 271

一、数学史料 271

1．向量运算有何特点？ 272

三、释疑解惑 272

二、教学基本要求 272

2．向量的内积有哪些应用？ 273

3．向量积有哪些应用？ 274

4．试述点在直线或平面上的投影点的求法及其应用 276

5．如何正确使用平面束方程？ 277

6．如何求旋转曲面的方程？ 279

7．空间曲线关于坐标面的投影柱面和投影曲线有何应用？ 281

8．何谓空间直角坐标系的坐标变换？ 282

四、典型题型分析 284

1．求空间向量 284

2．向量的运算 286

3．两向量共线及三向量共面 288

4．利用向量求解几何问题 290

5．求平面方程 291

6．求空间直线方程 293

7．求直线在平面上的投影直线方程 295

8．平面、直线之间的关系 296

9．关于距离的讨论 298

10．空间曲面及二次曲面 304

11．求空间曲线的参数方程及其投影曲线方程 306

4-1 向量及其线性运算 308

五、习题解难 308

4-2　向量的坐标和向量运算的坐标表示 309

4-3 空间的平面和直线 310

4-4 空间曲面 311

4-5 空间曲线 313

4-6　二次曲面 314

六、考研题选解 314

七、综合测试题和测试题答案或提示 317

上册期中测试题、期末测试题 320

上册期中测试题、期末测试题答案或提示 328