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目录 1

第1章 典型方程的导出、定解问题及二阶方程的分类与化简 1

1.1　典型方程的导出 2

1.1.1 守恒律 2

1.1.2　变分原理 8

1.2　偏微分方程的基本概念 12

1.2.1 定义 12

1.2.2　定解条件和定解问题 12

1.3　二阶线性偏微分方程的分类与化简 14

1.2.3　定解问题的适定性 14

1.3.1　两个自变量的二阶线性偏微分方程的分类与化简 15

1.3.2　多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类 18

习题 20

第2章　分离变量法 23

2.1　预备知识 23

2.2 特征值问题 25

2.2.1　Sturm-Liouville问题 25

2.2.2　正交函数系 27

2.2.3　Sturm-Liouville问题的一些基本结论 28

2.3　有界弦的自由振动 28

2.4　有界杆上的热传导问题 33

2.5　Laplace方程的定解问题 36

2.6　非齐次方程的定解问题 39

2.6.1　齐次化原理 40

2.6.2　特征展开法 43

2.7　非齐次边界条件的处理 45

2.8　物理意义，驻波法与共振 49

2.9　总结 51

习题 52

第3章　积分变换法 57

3.1　Fourier变换 57

3.2.1　一维热传导方程的初值问题 62

3.2　Fourier变换的应用 62

3.2.2　高维热传导方程的初值问题 67

3.2.3　一维弦振动方程的初值问题 68

3.3　半无界问题：对称延拓法 71

3.3.1　热传导方程的半无界问题 71

3.3.2　半无界弦的振动问题 73

3.4　Laplace变换 75

3.4.1　Laplace变换的概念 75

3.4.2　Laplace变换的性质 76

3.4.3　Laplace变换的应用 78

习题 80

第4章 波动方程的特征线法、球面平均法和降维法 84

4.1　齐次弦振动方程的初值问题，d'Alembert公式 84

4.2　物理意义 87

4.3　三维波动方程的初值问题——球面平均法和Poisson公式 88

4.3.1　三维波动方程的球对称解 88

4.3.2　三维波动方程的Poisson公式 89

4.3.3　非齐次方程，推迟势 92

4.4　二维波动方程的初值问题——降维法 94

4.5　依赖区域、决定区域、影响区域、特征锥 97

4.6　Poisson公式的物理意义，Huygens原理 99

习题 100

第5章　位势方程 102

5.1　Green公式与基本解 102

5.1.1　Green公式 102

5.1.2　基本解的定义 103

5.2　调和函数的基本积分公式及一些基本性质 105

5.3　Green函数 108

5.3.1　Green函数的概念 108

5.3.2　Green函数的性质 110

5.4.1　球上的Green函数，Poisson公式 112

5.4 两种特殊区域上的Green函数及Dirichlet问题的可解性 112

5.4.2　上半空间的Green函数，Poisson公式 116

5.5　调和函数的进一步性质——Poisson公式的应用 118

习题 121

第6章　三类典型方程的基本理论 124

6.1 双曲型方程 124

6.1.1　初值问题的能量不等式，解的适定性 124

6.1.2　混合问题的能量模估计与解的适定性 129

6.1.3　弱间断线与广义解 133

6.2.1　极值原理、最大模估计与解的惟一性 138

6.2　椭圆型方程 138

6.2.2　能量模估计与解的惟一性 144

6.3　抛物型方程 146

6.3.1　极值原理与最大模估计 146

6.3.2　第一初边值问题 147

6.3.3　第三初边值问题 148

6.3.4　初值问题的极值原理、解的最大模估计及惟一性 150

6.3.5　初边值问题的能量模估计与解的惟一性 152

习题 154

参考答案 159

附录A　积分变换表 168

参考文献 171