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第一编 平面解析几何 1

第一章 直线方程的讨论 1

1 有关直线知识的复习 1

习题1·1 7

2 直线的一般方程 8

2·1 直线与一次方程 8

2·2 直线在坐标平面上的位置 9

习题1·2 10

3 直线的法式方程 11

3·1 直线的法式方程 11

3·2 直线的一般方程化为法式方程 15

习题1·3 17

4 直线到点的有向距离 18

4·1 直线到点的有向距离 18

4·2 直线划分平面区域 22

习题1·4 25

5 直线束 26

习题1·5 29

第一章小结 30

复习题一 32

第二章 二次曲线的一般理论 34

1 利用坐标变换化简一般二次曲线方程 34

1·1 转轴变换下的一般二次曲线方程 35

1·2 椭圆型和双曲型曲线方程的化简 38

1·3 抛物型曲线方程的化简与讨论 40

1·4 一般二次曲线方程的分类 42

习题2·1 43

2 中心型曲线方程的化简 44

2·1 移轴变换下的一般二次曲线方程 44

2·2 二次曲线的中心和中心型曲线方程的化简 45

习题2·2 48

3 非中心型曲线方程的化简 49

习题2·3 51

4 用不变量化一般二次曲线方程为最简形式 52

4·1 二次曲线在坐标变换卞的不变量 52

4·2 用不变量写成的二次曲线的方程 57

习题2·4 65

第二章小结 66

复习题二 68

第三章 参数方程 69

1 曲线的参数方程 69

2 圆锥曲线的参数方程 75

2·1 椭圆的参数方程 75

2·2 双曲线的参数方程 76

2·3 抛物线的参数方程 78

习题3·1～3·2 79

3 参数方程的应用 80

习题3·3 88

4 利用参数方程描绘曲线的图形 89

习题3·4 95

第三章小结 95

复习题三 96

第四章 极坐标方程 98

1 极坐标系 98

1·1 极坐标系 98

1·2 极坐标与直角坐标的关系 99

习题4·1 101

2 曲线的极坐标方程的建立 102

2·1 曲线的极坐标方程 102

2·2 直线的极坐标方程 102

2·3 圆的极坐标方程 103

2·4 圆锥曲线的极坐标方程 106

习题4·2 111

3 利用极坐标解轨迹问题 112

3·1 等速螺线 112

3·2 蜗线 114

3·3 四叶玫瑰线 115

习题4·3 116

4 极坐标方程图形的描绘 117

4·1 作图举例 117

4·2 极坐标的旋转变换 124

习题4·4 126

第四章小结 127

复习题四 132

第二编 空间解析几何 134

第一章 向量代数 134

1 空间直角坐标系 134

1·1 空间直角坐标系 134

1·2 空间点的坐标和点在八个卦限内的符号 136

1·3 右手系和左手系 137

1·4 空间直角坐标系及空间一点的作图 140

习题1·1 141

2 向量和向量的坐标 142

2·1 向量的两个要素 142

2·2 各种向量及向量的坐标 144

习题1·2 146

3 向量的加法和减法 147

3·1 两个向量的加法 147

3·2 运算律 149

3·3 多个向量的加法 150

3·4 向量的减法 152

习题1·3 154

4 数与向量的乘法 154

4·1 数与向量的乘法 154

4·2 运算律 155

习题1·4 160

5 向量的线性关系 161

5·1 共线向量 161

5·2 共面向量 166

5·3 向量的相关性 168

习题1·5 170

6 向量的坐标表示法及应用 171

6·1 空间两个向量的夹角 171

6·2 向量在轴上的射影 171

6·3 向量的坐标表示法 173

6·4 空间线段的定比分点 176

6·5 空间两点间的距离 178

6·6 空间方向的确定 180

习题1·6 185

7 向量的内积 187

7·1 向量内积的定义和性质 187

7·2 运算律 188

7·3 内积的坐标式 190

习题1·7 194

8 向量的外积 195

8·1 向量外积的定义和性质 195

8·2 运算律 197

8·3 外积的坐标式 201

习题1·8 205

9 三个向量的乘法 206

9·1 向量混合积的定义和性质 206

9·2 向量的二重外积和拉格朗同（Lagrange）恒等式 208

习题1·9 212

第一章小结 213

复习题一 221

第二章 平面 225

1 平面的点法式和一般式 225

1·1 向量方程 225

1·2 平面方程的点法式 225

1·3 平面方程的一般式 227

1·4 平面与坐标系相关位置的讨论 228

1·5 平面由三个代数条件确定 229

习题2·1 231

2 平面方程的三点式和参数式 232

2·1 平面方程的三点式 232

2·2 平面方程的参数式 234

2·3 平面的作图 235

习题2·2 238

3 平面方程的法线式 239

3·1 平面方程的法线式 239

3·2 化平面方程的一般式为法线式 241

习题2·3 244

4 点和平面的关系 244

4·1 平面到点的有向距离和它们之间的距离 244

4·2 平面分线段的比 247

习题2·4 249

5 两个平面的关系 249

5·1 两个平面的相关位置 249

5·2 两个相交平面的夹角 250

5·3 两个平行平面间的距离 252

习题2·5 253

第二章小结 254

复习题二 258

第三章 空间直线 261

1 直线方程的各种形式 261

1·1 直线方程的参数式 261

1·2 直线方程的对称式和两点式 262

1·3 直线方程的一般式和射影式 263

1·4 空间直线由四个代数条件确定 270

习题3·1 270

2 直线与平面的关系 271

2·1 直线与平面的相关位置 271

2·2 直线与平面的夹角 275

2·3 有关直线、平面的平行和垂直问题 277

习题3·2 278

3 点与直线、直线与直线的关系 280

3·1 点与直线、直线与直线的位置关系 280

3·2 点与直线、直线与直线的度量性质 283

3·3 坐标系的选取 287

习题3·3 289

4 平面束 291

习题3·4 293

第三章小结 294

复习题三 298

第四章 特殊曲面 301

1 曲面与空间曲线的方程 301

1·1 曲面的方程 301

1·2 空间曲线方程 305

习题4·1 306

2 球面 308

习题4·2 311

3 柱面 311

3·1 柱面方程 311

3·2 空间曲线的投影柱面 317

习题4·3 319

4 锥面 321

习题4·4 326

5 旋转曲面 327

习题4·5 333

6 空间曲线和曲面的参数方程 334

6·1 空间曲线的参数方程 334

6·2 曲面的参数方程 338

习题4·6 345

第四章小结 346

复习题四 351

第五章 二次曲面 352

1 曲面方程的讨论与伸缩变换 352

1·1 曲面方程的讨论 352

1·2 伸缩变换 354

2．椭圆面 357

习题5·1～5·2 359

3 双曲面 360

3·1 单叶双曲面 360

3·2 双叶双曲面 362

3·3 双曲面的渐近锥面 364

习题5·3 367

4 抛物面 368

4·1 椭圆抛物面 368

4·2 双曲抛物面 371

习题5·4 373

5 单叶双曲面与双曲抛物面的直纹性 374

习题5·5 384

6 二次曲面平截线的作图法 385

6·1 关于坐标面上二次曲线的画法 385

6·2 二次曲面平截线的作图法 388

6·3 二次曲面的画法 390

习题5·6 391

第五章小结 391

复习题五 392

第六章 一般二次曲面的研究 394

1 空间坐标变换 394

1·1 坐标轴的平移 394

1·2 坐标轴的旋转 396

1·3 一般坐标变换公式 400

1·4 代数方程在标坐变换下的不变性 401

习题6·1 402

2 直线与一般二次曲面的相关位置 402

习题6·2 406

3 一般二次曲面的中心和径面 406

3·1 一般二次曲面的中心 406

3·2 一般二次曲面的径面 412

习题6·3 414

4 一般二次曲面的主方向和主径面 414

5 一般二次曲面方程的化简 421

习题6·4～6·5 429

6 一般二次曲面的不变量 429

习题6·6 433

7 用不变量写成的二次曲面最简方程 434

习题6·7 441

第六章小结 441

复习题六 446

附录 有关代数的一些知识 447

1 行列式 447

1·1 二阶和三阶行列式 447

1·2 高阶行列式 447

1·3 行列式的性质 448

1·4 代数余子式 448

1·5 高阶行列式的计算 449

2 矩阵和方阵 449

2·1 矩阵和方阵 449

2·2 方阵的行列式 450

2·3 矩阵的子行列式 450

2·4 矩阵的秩 451

3 线性方程组 451

3·1 n元n个线性方程组 451

3·2 线性方程组有解的判定定理 452

4 特征方程 455

习题答案 456

索引 488