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第1章 集合与点集 1

1.1集合及其运算 2

1.1.1问题提出 2

1.1.2概念入门 2

1.1.3主要事实 4

1.1.4例题选讲 7

1.1.5基础题训练 10

1.1.6提高性习题 11

1.2映射与基数 12

1.2.1问题提出 12

1.2.2概念入门 13

1.2.3主要事实 15

1.2.4例题选讲 18

1.2.5基础题训练 19

1.3.1问题提出 20

1.3可数集与连续基数集 20

1.2.6提高性习题 20

1.3.2概念入门 21

1.3.3主要事实 21

1.3.4例题选讲 24

1.3.5基础题训练 27

1.3.6提高性习题 28

1.4直线上的点集 29

1.4.1问题提出 29

1.4.2概念入门 29

1.4.3主要事实 31

1.4.4例题选讲 35

1.4.5基础题训练 36

1.4.6提高性习题 37

1.5关于集合论的几点注记 38

1.5.1集合论创始人Cantor简介 38

1.5.2实无穷观与潜无穷观 40

1.5.4第三次数学危机与Z-F集合论公理系统 41

1.5.3连续统假设 41

1.5.5集合思想对中学数学的指导 42

1.5.6一一映射思想对中学数学的指导 43

第2章 测度论 44

2.1外测度 45

2.1.1问题提出 45

2.1.2概念入门 45

2.1.3主要事实 45

2.1.4例题选讲 47

2.1.5基础题训练 50

2.1.6提高性习题 50

2.2可测集与测度 51

2.2.1问题提出 51

2.2.2概念入门 51

2.2.3主要事实 51

2.2.4例题选讲 55

2.2.5基础题训练 56

2.2.6提高性习题 57

2.3可测集类与可测集的结构 58

2.3.1问题提出 58

2.3.2概念入门 58

2.3.3主要事实 59

2.3.4例题选讲 61

2.3.5基础题训练 63

2.3.6提高性习题 63

2.4.1Lebesgue生平简介 64

2.4关于测度论的几点注记 64

2.4.2Lebesgue测度原始工作简介 65

2.4.3长度的公理化定义 65

2.4.4选择公理 66

2.4.5测度论的现代发展 67

第3章 可测函数 68

3.1可测函数概念及性质 68

3.1.1问题提出 68

3.1.2概念入门 69

3.1.3主要事实 71

3.1.4例题选讲 77

3.1.5基础题训练 79

3.1.6提高性习题 80

3.2可测函数列的各种收敛性 81

3.2.1问题提出 81

3.2.2概念入门 81

3.2.3两个重要例子 82

3.2.4主要事实 82

3.2.5例题选讲 85

3.2.6基础题训练 86

3.2.7提高性习题 87

3.3关于可测函数的几点注记 87

3.3.1关于莫斯科函数论学派 87

3.3.2关于可测函数列的收敛性 88

3.3.3关于“差不多”的数学处理方法 89

第4章 Lebesgue积分 90

4.1.2概念入门 91

4.1非负简单函数与非负可测函数的（L）积分 91

4.1.1问题提出 91

4.1.3主要事实 93

4.1.4例题选讲 99

4.1.5基础题训练 101

4.1.6提高性习题 102

4.2一般可测函数的（L）积分 103

4.2.1问题提出 103

4.2.2概念入门 103

4.2.3主要事实 104

4.2.4例题选讲 109

4.2.5基础题训练 112

4.2.6提高性习题 113

4.3（L）积分与（R）积分 115

4.3.1问题提出 115

4.3.2概念入门 115

4.3.3主要事实 116

4.3.4例题选讲 118

4.3.5基础题训练 120

4.3.6提高性习题 121

4.4Fubini定理 121

4.4.1问题提出 121

4.4.2概念入门 121

4.4.3主要事实 122

4.4.4例题选讲 128

4.4.5基础题训练 129

4.4.6提高性习题 130

4.5关于（L）积分的几点注记 130

4.5.1（L）积分理论产生的背景及现代发展 130

4.5.2导入（L）积分的路线 131

4.5.3定义（L）积分的三种基本方法 131

4.5.4Lebesgue理论对数学研究的启示 132

第5章 微分理论初步 134

5.1.2概念入门 135

5.1.1问题提出 135

5.1单调函数与有界变差函数的微分性质 135

5.1.3主要事实 136

5.1.4例题选讲 141

5.1.5基础题训练 142

5.1.6提高性习题 143

5.2不定积分与绝对连续函数 143

5.2.1问题提出 143

5.2.2概念入门 144

5.2.3主要事实 145

5.2.4例题选讲 150

5.2.5基础题训练 151

5.2.6提高性习题 152

5.3关于微分理论的两点注记 153

5.3.1关于函数的可微性 153

5.3.2关于微分与积分的可逆性 153

附录基础题训练、提高性习题部分参考解答或提示 155

参考文献 201