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9 无穷级数 1

9.1 数项级数 1

9.1.1 无穷级数的基本概念 1

9.1.2 正项级数 6

9.1.3 交错级数 16

9.1.4 级数收敛的一般判别法 18

9.1.5 绝对收敛与条件收敛 22

9.2 函数项级数 31

9.2.1 函数项级数的收敛概念 31

9.2.2 函数项级数的一致收敛性及判别法 32

9.2.3 一致收敛级数的性质 40

9.3 幂级数与泰勒展开式 47

9.3.1 幂级数的收敛半径 47

9.3.2 幂级数的性质 51

9.3.3 函数的泰勒展开式 55

9.3.4 初等函数的泰勒展开式 58

9.3.5 幂级数的运算 62

9.4 级数的应用 65

9.4.1 幂级数应用于近似计算 65

9.4.2 司特林公式 67

9.4.3 连续函数的多项式逼近 71

9.4.4 隐函数存在定理 76

10 含参变量的积分 84

10.1 广义积分的收敛性判别 84

10.1.1 无穷区间积分的收敛判别法 84

10.1.2 收敛性的精细判别法 89

10.1.3 无界函数积分的收敛判别法 95

10.2 含参变量的常义积分 100

10.2.1 含参变量的常义积分的性质 100

10.2.2 积分限依赖于参变量的积分的性质 104

10.3 含参变量的广义积分 107

10.3.1 积分的一致收敛概念 107

10.3.2 一致收敛积分的性质 112

10.3.3 几个重要的积分 118

10.4 欧拉积分 125

10.4.1 Γ函数的性质 125

10.4.2 B函数的性质 127

11 富里叶分析 135

11.1 周期函数的富里叶级数 135

11.1.1 周期函数、三角函数的正交性 135

11.1.2 富里叶级数 137

11.1.3 偶函数与奇函数的富里叶级数 141

11.1.4 任意周期的情形 144

11.1.5 有限区间上的函数的富里叶级数 148

11.1.6 富里叶级数的复数形式 153

11.1.7 贝塞尔不等式 155

11.1.8 富里叶级数的收敛性 159

11.2 广义富里叶级数 169

11.2.1 么正函数系 169

11.2.2 广义富里叶级数及平方平均收敛 172

11.3.1 富里叶积分 176

11.3 富里叶变换 176

11.3.2 富里叶变换 179

11.3.3 富里叶变换的性质 183

12 线性微分方程 191

12.1 微分方程解的存在性与唯一性定理 191

12.1.1 皮卡（Picard）逐次逼近法，微分方程解的存在性与唯一性定理 191

12.1.2 欧拉（Euler）折线法 198

12.1.3 解的延拓 200

12.1.4 解对初值的连续性与可微性 201

12.2 二阶线性微分方程的一般理论 204

12.2.1 线性齐次方程解的结构 206

12.2.2 线性非齐次方程解的结构 214

12.2.3 应用幂级数求解方程 218

12.3 二阶常系数线性微分方程 225

12.3.1 常系数线性齐次方程 225

12.3.2 常系数非线性齐次方程 228

12.3.3 欧拉（Euler）方程 232

12.4 质点的振动 236

12.4.1 自由简谐振动 236

12.4.2 自由阻尼振动 238

12.4.3 无阻尼的强迫振动 240

12.4.4 有阻尼的强迫振动 242

12.5 n阶线性微分方程 245

12.5.1 n阶线性方程解的结构 245

12.5.2 n阶常系数线性方程的求解 246

12.6 微分方程组 249

12.6.1 一般概念 249

12.6.2 消元升阶法 253

12.6.3 第一积分法 259

12.6.4 线性方程组解的结构 266

12.6.5 代数求解法 268