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第一章 基本概念和一阶偏微分方程 1

1.1 记号和基本概念 1

1.1.1 记号 1

1.1.2 基本概念 3

1.1.3 定解条件和定解问题 6

1.1.4 偏微分方程小史 6

1.1.5 本课程的打算 7

1.2 一阶偏微分方程的求解 8

1.2.1 拟线性方程的Cauchy问题 8

1.2.2 一阶完全非线性方程的Cauchy问题 13

1.3 全积分和包面 20

1.4 幂级数和Cauchy-Kovalevskaja定理 26

1.4.1 实解析函数和优函数 27

1.4.2 常微分方程的实解析解 28

1.4.3 Cauchy-Kovalevskaja定理 30

第二章 定解问题的导出和二阶线性偏微分方程的分类及化简 35

2.1 变分问题和微分方程与变分原理和定解问题 35

2.1.1 泛函和变分问题 35

2.1.2 定解问题 39

2.2 二阶线性偏微分方程的分类和化简 42

2.2.1 二阶常系数线性偏微分方程的分类和化简 42

2.2.2 变系数二阶线性偏微分方程的分类和有关的坐标变换 46

2.2.3 两个自变量的变系数二阶线性偏微分方程的化简 50

第三章 二阶常系数线性偏微分方程的求解方法 56

3.1 叠加原理和齐次化原理 56

3.1.1 定解问题的分解 56

3.1.2 齐次化(Duhamel)原理 58

3.2 Fourier级数和分离变量法 64

3.3 Fourier积分和积分变换 78

3.3.1 Fourier积分定理 79

3.3.2 Fourier变换及其性质 81

3.3.3 Laplace变换及其性质 90

第四章 波动方程 96

4.1 波动方程的建立 96

4.1.1 弦振动方程(一维波动方程)的建立 96

4.1.2 膜振动方程(二维波动方程)的建立 98

4.1.3 弹性介质中的振动方程(三维波动方程)的建立 100

4.2 弦振动方程的Cauchy问题与半无界弦的初边值问题 104

4.2.1 弦振动方程的Cauchy问题 104

4.2.2 半无界弦的初边值问题(延拓法) 107

4.3 三维和二维波动方程的Cauchy问题 112

4.3.1 三维波动方程的Cauchy问题(球平均法) 112

4.3.2 二维波动方程Cauchy问题的求解(降维法) 116

4.3.3 依赖区域，决定区域和影响区域以及二维波动和三维波动的区别 118

4.3.4 波动方程Cauchy问题的惟一性和稳定性，能量积分 122

4.4 波动方程在有界区域上的初边值问题 129

4.4.1 弦振动方程的初边值问题 129

4.4.2 有界区间上弦振动方程解的物理意义 136

4.4.3 高维波动方程在有界区域上的初边值问题 137

4.4.4 有界区域上波动方程初边值问题的惟一性和稳定性 142

第五章 热传导方程 145

5.1 热传导方程的建立 145

5.2 有界区域上初边值问题的分离变量法 147

5.3 热传导方程的Cauchy问题和半空间上的初边值问题 151

5.3.1 热传导方程的Cauchy问题 151

5.3.2 热传导方程在半空间上的初边值问题 157

5.4 极值原理与惟一性和稳定性 158

5.4.1 极值原理 159

5.4.2 有界区域上初边值问题的惟一性 163

5.4.3 有界区域上热传导方程初边值问题的稳定性(最大模或最大值估计) 164

5.4.4 Cauchy问题的惟一性和稳定性 166

5.4.5 热传导方程的能量积分 170

第六章 位势方程 174

6.1 位势方程的引入，定解问题的提法和基本解 174

6.2 极值原理，位势方程的惟一性和稳定性 177

6.3 Green公式和Green函数及调和函数的一些性质 181

6.3.1 Green公式及其若干推论 182

6.3.2 Green函数和球域上Dirichlet问题的求解公式 186

6.3.3 调和函数的一些性质 191

6.4 Newton位势和非齐次位势方程的特解 194

6.5 Perron方法和有界区域上Dirichlet问题的可解性 197