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第0章　准备知识 1

0.1　集合、命题、谓词和运算 1

0.1.1　集合 1

0.1.2　命题与谓词 2

0.1.3　集合的表示 4

0.1.4　外延性原理与子集合 6

0.1.5　运算 7

练习0.1 9

0.2　鸽笼原理 12

0.2.1　鸽笼原理基本形式 12

0.2.2　鸽笼原理加强形式 14

练习0.2 15

第1章　逻辑代数（上）：命题演算 16

1.1　逻辑联结词与命题公式 16

1.1.1　逻辑联结词 16

1.1.2　命题公式 20

1.1.3　语句形式化 22

练习1.1 23

1.2　逻辑等价式和逻辑蕴涵式 25

1.2.1　重言式 26

1.2.2　逻辑等价式和逻辑蕴涵式 26

1.2.3　对偶原理 30

1.2.4　应用逻辑 31

练习1.2 33

1.3　范式 35

1.3.1　析取范式和合取范式 35

1.3.2　主析取范式与主合取范式 37

1.3.3　联结词的扩充与归约 39

练习1.3 42

1.4　命题演算消解原理 43

练习1.4 45

1.5　阅读材料：布尔代数 46

第2章　逻辑代数（下）：谓词演算 50

2.1　谓词演算基本概念 50

2.1.1　个体 51

2.1.2　谓词 51

2.1.3　量词 52

2.1.4　谓词公式及语句形式化 53

练习2.1 56

2.2　谓词演算永真式 59

2.2.1　谓词公式的语义 59

2.2.2　谓词演算永真式 61

2.2.3　谓词公式等价变换的几个基本原理 64

练习2.2 65

2.3　谓词演算消解原理 68

2.3.1　前束化和消去量词 68

2.3.2　谓词演算消解原理 70

练习2.3 72

2.4　阅读材料：形式推理与形式系统［2］ 73

2.4.1　一个形式系统的例子 73

2.4.2 自然推理形式系统ND 73

第3章　集合代数 78

3.1　集合运算 78

3.1.1　集合的并、交、差、补运算 78

3.1.2　集合的环和与环积运算 82

3.1.3　幂集与广义并、交运算 84

练习3.1 86

3.2　集合的笛卡儿积 88

练习3.2 90

3.3　集合定义的自然数和归纳法证明 91

3.3.1　集合定义的自然数 91

3.3.2　归纳法证明 93

练习3.3 98

3.4　阅读材料：公理化集合论简介［4］ 98

第4章　初等数论 102

4.1　整除和素数 102

4.1.1　整除 102

4.1.2　最大公因子 105

4.1.3　算术基本定理 108

4.1.4　素数的性质 109

4.1.5 实数的取整［x］与取另｛x｝ 112

练习4.1 114

4.2　同余 115

4.2.1　同余的基本性质 115

4.2.2　剩余系 117

4.2.3　一次同余方程 118

4.2.4　同余式组 120

4.2.5　Euler定理和Fetmat小定理 120

练习4.2 122

4.3　阅读材料：数论在加密技术中的应用 123

4.3.1　仿射加密方法 124

4.3.2　RSA加密方法 126

4.3.3　数字签名 128

第5章　计数 130

5.1　计数基本原理 130

5.1.1　加法原理和乘法原理 130

5.1.2　包含排斥原理 131

练习5.1 134

5.2　排列与组合 135

5.2.1　排列的计数 135

5.2.2　组合的计数 136

练习5.2 139

5.3　重集的排列与组合 140

5.3.1　重集的排列 140

5.3.2　重集的组合 143

5.3.3　错置的计数 145

练习5.3 147

5.4　递归式及其应用 148

5.4.1　递归式建模 149

5.4.2　递归式求解 151

练习5.4 159

5.5　阅读材料：母函数 160

第6章　关系 164

6.1　关系 164

6.1.1　关系及二元关系 164

6.1.2　关系基本运算 168

6.1.3　关系数据库中的关系运算 173

6.1.4　关系的基本特性 174

6.1.5　关系的特性闭包 177

练习6.1 180

6.2　等价关系 183

6.2.1　等价关系及其等价类 183

6.2.2　等价关系与划分 185

6.2.3　等价关系的应用 186

练习6.2 187

6.3　序关系 189

6.3.1　序关系和有序集 189

6.3.2　全序集与良序集 193

6.3.3　有序集的应用 195

练习6.3 196

6.4　阅读材料：格 198

第7章 函数 202

7.1　函数及函数的合成 202

7.1.1 函数基本概念 202

7.1.2　函数的合成 206

7.1.3　函数的递归定义 207

练习7.1 209

7.2　特殊函数类 210

7.2.1　单射、满射和双射 210

7.2.2　函数的逆 213

7.2.3　谓词、集合、函数的统一描述与模糊子集 215

练习7.2 217

7.3　有限集和无限集 219

7.3.1　有限集、可数集与不可数集 219

7.3.2　无限集的特性 223

练习7.3 224

7.4　阅读材料：集合基数与基数比较 224

第8章　可计算函数 229

8.1　函数概念的拓广 229

练习8.1 230

8.2　初等函数 231

8.2.1　初等函数集 231

8.2.2　初等谓词 235

练习8.2 238

8.3　原始递归函数 238

8.3.1　初等函数集的不足 238

8.3.2　原始递归式 240

8.3.3　原始递归函数集 241

练习8.3 243

8.4　递归函数 244

8.4.1　阿克曼函数及其性质 244

8.4.2 μ-递归式 246

8.4.3　递归函数集（μ-递归函数集） 247

练习8.4 249

8.5　阅读材料：图灵机 249

8.5.1　图灵机的组成 249

8.5.2　图灵可计算函数 252

第9章　图与树 255

9.1 图 256

9.1.1　图的基本概念 256

9.1.2　结点的度 257

9.1.3　子图、补图及图同构 259

9.1.4　图的应用 260

练习9.1 262

9.2　路径、回路及连通性 264

9.2.1　路径、通路与回路 264

9.2.2　连通性 265

9.2.3　连通度 267

练习9.2 269

9.3　图的矩阵表示 270

9.3.1　邻接矩阵 270

9.3.2　路径矩阵与可达性矩阵 273

练习9.3 274

9.4　树 275

9.4.1　树的基本概念 275

9.4.2　生成树 276

练习9.4 280

9.5　阅读材料：图搜索算法 281

9.5.1　图搜索算法（A算法） 283

9.5.2　启发式图搜索算法（A＊算法） 284

第10章　特殊图 286

10.1　欧拉图与哈密顿图 286

10.1.1　欧拉图及欧拉路径 287

10.1.2 哈密顿图及哈密顿通路 289

10.1.3　欧拉图与哈密顿图的应用 293

练习10.1 294

10.2　二分图 295

10.2.1　二分图基本概念 295

10.2.2　二分图的匹配及其应用 297

练习10.2 301

10.3　平面图 302

10.3.1 平面图基本概念 302

10.3.2　欧拉公式和库拉托夫斯基定理 304

10.3.3　平面图的应用：着色问题 308

练习10.3 311

10.4　根树 312

10.4.1　根树的概念 312

10.4.2　二元树的性质及应用 314

练习10.4 318

10.5　阅读材料：博弈树与智能博弈 319

第11章　代数结构通论 323

11.1　代数结构 323

11.1.1　代数结构的组成 323

11.1.2　代数结构的特殊元素 325

11.1.3　子代数 328

练习11.1 329

11.2　同态和同构 331

练习11.2 334

11.3　同余关系 335

11.3.1 同余关系的意义 335

11.3.2　同态与同余关系 337

11.3.3　同余关系的应用 338

练习11.3 340

11.4　阅读材料：正则语言及其代数性质 341

第12章　群、环、域 346

12.1　半群 346

12.1.1　半群及独异点 346

12.1.2 自由独异点 347

练习12.1 349

12.2　群 350

12.2.1　群及其基本性质 350

12.2.2　群的元素的阶 354

12.2.3　子群、陪集和拉格朗日定理 355

12.2.4　正规子群和商群 358

练习12.2 360

12.3　循环群和置换群 362

12.3.1　循环群 362

12.3.2　置换群 363

12.3.3　置换群的应用 366

练习12.3 370

12.4　环和域 371

12.4.1　环 371

12.4.2　域 375

练习12.4 377

12.5　阅读材料：有穷自动机 378

12.5.1　有穷自动机 378

12.5.2　状态迁移幺半群 380

12.5.3　语言同余关系 382

参考文献 384