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第1章 多项式 1

1.1 多项式的概念与运算 1

一、多项式的基本概念 1

二、多项式的运算 2

练习1.1 2

1.2 多项式的整除 2

一、带余除法和综合除法 2

二、整除 4

三、最大公因式及其求法 5

四、多项式的互素 7

练习1.2 9

1.3 多项式的因式分解 10

一、不可约多项式 10

二、κ重因式 12

三、多项式函数 13

四、一般数域上的因式分解及根的性质 15

五、复数域上多项式的因式分解及根的性质 16

六、实数域上多项式的因式分解及根的性质 17

七、有理数域上多项式的因式分解及根的性质 19

练习1.3 22

1.4 注记 23

第2章 行列式 24

2.1 用定义计算行列式 24

练习2.1 25

2.2 求行列式的若干方法 25

一、三角化法 26

二、用行列式的性质化为己知行列式 26

三、滚动相消法 27

四、拆分法 29

五、加边法 31

六、归纳法 32

七、利用递推降级法 33

八、利用重要公式与结论 35

九、用幂级数变换计算行列式 36

练习2.2 38

2.3 利用降级公式计算行列式 42

练习2.3 48

2.4 有关行列式的证明题 49

练习2.4 50

2.5 一个行列式的计算和推广 51

一、Dn的计算 52

二、问题的推广 54

第3章 线性方程组 56

3.1 线性相关性（Ⅰ） 56

一、线性相关 56

二、线性无关 57

三、综合性问题 61

练习3.1 63

3.2 矩阵的秩 64

练习 3.2 67

3.3 线性方程组的解 67

一、线性方程组的几种表示形式 67

二、线性方程组有解的判定及解的个数 68

三、线性方程组解的结构 70

练习3.3 77

第4章 矩阵 81

4.1 矩阵的基本运算 81

一、矩阵的加法和数乘 81

二、矩阵的乘法 82

三、矩阵的转置 83

四、矩阵的伴随 84

练习4.1 87

4.2 矩阵的逆 88

一、矩阵逆的性质 88

二、矩阵逆的求法（Ⅰ） 88

三、矩阵不可逆的证明方法 89

四、矩阵多项式的逆（Ⅱ） 90

练习4.2 91

4.3 矩阵的分块 91

一、分块阵的乘法及其应用 91

二、分块阵的广义初等变换 92

三、关于分块阵的逆（Ⅲ） 93

练习4.3 94

4.4 初等矩阵 95

一、初等矩阵及其性质 95

二、初等变换的应用 96

三、利用初等变换求矩阵的逆（Ⅳ） 99

四、矩阵的等价 100

练习4.4 100

4.5 若干不等式 101

一、Steinitz替换定理及其应用 101

二、利用整齐与局部的思想（实例） 102

练习4.5 104

第5章 二次型 105

5.1 二次型与矩阵 105

一、二次型的概念及其表示 105

二、二次型与对称矩阵（Ⅰ） 106

练习5.1 107

5.2 标准形和规范形 107

一、标准形 107

二、规范形及其唯一性 111

三、（反）对称矩阵（Ⅱ） 112

练习5.2 113

5.3 正定二次型 114

一、正定二次型的判定 114

二、正定矩阵的判定 117

练习5.3 118

5.4 其他各类二次型 120

一、负定二次型 120

二、半正（负）定二次型 122

5.5 不等式与二次型（实例） 123

5.6 注记 124

第6章 线性空间 125

6.1 线性空间的定义 125

一、用定义证明线性空间 125

二、几个常用的线性空间 125

三、向量组的线性相关性 126

练习6.1 126

6.2 基与维数·变换公式 127

一、基与维数的求法 127

二、基变换公式 128

三、同一向量在不同基下的坐标（“3推1”公式Ⅰ） 129

四、坐标的求法 130

练习6.2 131

6.3 子空间及其运算 131

一、子空间的判定 131

二、子空间的运算 134

三、直和的证明 137

四、子空间的性质 137

练习6.3 139

6.4 不等式 141

练习6.4 143

第7章 线性变换 144

7.1 线性变换及其运算 144

一、线性变换的判定及其性质 144

二、线性变换的多项式 146

练习7.1 146

7.2 线性变换与矩阵 147

一、线性变换的矩阵 147

二、一一对应关系 148

三、矩阵的相似 150

四、向量与其象向量的坐标（“3推1”公式Ⅱ） 151

五、同一线性变换在不同基下的矩阵（“3推1”公式Ⅲ） 152

练习7.2 153

7.3 矩阵（线性变换）的特征值与特征向量 155

一、矩阵的特征值与特征向量求法 155

二、矩阵特征值的和与积 159

三、代数重数与几何重数 160

四、扰动法（实例） 161

练习7.3 161

7.4 线性变换（矩阵）的对角化问题（Ⅰ） 163

一、利用特征向量判定 163

二、利用特征值判定 164

练习7.4 166

7.5 不变子空间 168

一、不变子空间的判定 168

二、特征子空间 169

三、值域 170

四、核 171

练习7.5 174

7.6 线性空间的分解 177

一、多项式理论与线性空间分解初步 177

二、线性空间的分解 179

练习7.6 179

第8章 λ-矩阵 181

8.1 λ-矩阵的有关概念及结论 181

一、λ-矩阵的相关概念 181

二、不变因子，行列式因子与初等因子 182

练习8.1 184

8.2 矩阵相似的条件 185

一、矩阵相似与λ-矩阵等价之间的关系 185

二、矩阵相似的充要条件 185

练习8.2 186

8.3 矩阵的Jordan标准形 186

一、Jordan标准形及其求法 186

二、Jordan块的性质及其应用 190

练习8.3 195

8.4 Jordan标准形的相似过渡阵的求法 197

练习8.4 201

8.5 最小多项式 202

一、最小多项式及其性质 202

二、最小多项式的求法 204

三、最小多项式的应用（实例） 208

练习8.5 209

8.6 矩阵的对角化问题（Ⅱ） 210

一、利用最小多项式判定矩阵的对角化 210

二、常见的几类可对角化矩阵 211

练习8.6 211

8.7 矩阵方幂的若干求法 212

一、秩为1的情况 212

二、可分解为数量矩阵和幂零矩阵之和的情况 213

三、归纳法（实例） 214

四、利用相似变换法 215

五、特征多项式法（或最小多项式法） 216

六、利用Jordan标准形（实例） 217

练习8.7 218

第9章 欧几里得空间 220

9.1 欧氏空间及其基本性质 220

一、欧氏空间的基本概念 220

二、不等式 222

三、度量矩阵及其性质 223

四、内积的矩阵表示（“3推1”公式Ⅳ） 224

五、不同基的度量矩阵之间的关系（“3推1”公式Ⅴ） 225

练习9.1 226

9.2 标准正交基 226

一、标准正交基及其性质 226

二、标准正交基的求法 226

三、正交矩阵及其性质 229

练习9.2 230

9.3 子空间 231

一、子空间的正交及其性质 231

二、正交补 231

练习9.3 233

9.4 欧氏空间上的线性变换 234

一、正交变换 234

二、对称变换 236

三、反对称变换 237

四、（反）对称矩阵（Ⅲ） 237

练习9.4 239

9.5 矩阵分解 241

一、加法分解 241

二、乘法分解 243

三、特殊矩阵的分解 245

练习9.5 247

练习答案 249