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14．距离空间 1

14.1 集合与映射 1

1．集合 1

2．映射 6

3．集的对等、可列集、基数 9

14.1习题 17

14.2 距离空间 19

1．空间结构 19

2．距离空间 21

3．数直线R上的点集 27

4．距离空间中的点集 32

5．连续映射 36

14.2习题 38

14.3 数直线R上的极限理论 41

1．引言 41

2．数直线R上的极限理论 43

3．闭区间上连续函数四个性质定理的证明 49

14.3习题 53

14.4 距离空间的完备性 紧集与列紧集 55

1．距离空间的可分性 55

2．距离空间的完备性 57

3．距离空间中集合的列紧与紧 62

4．拓扑空间的概念 66

14.4习题 69

14.5 压缩映射原理 70

14.5习题 76

15．算子与泛函 77

15.1 勒贝格积分大意 77

1．引言 77

2．勒贝格测度与勒贝格可测函数 79

3．勒贝格积分大意 93

15.1习题 107

15.2 赋范线性空间 110

1．线性空间 111

2．赋范线性空间 113

3．空间lp与Lp 116

4．有限维赋范线性空间 119

15.2习题 123

15.3 内积空间 124

1．内积空间与希尔伯特空间 124

2．直交性与投影定理 128

3．希尔伯特空间中的傅里叶级数 131

15.3习题 138

15.4 算子与泛函的概念 139

1．算子与泛函的概念 139

2．算子与泛函的例 143

3．希尔伯特—施密特积分算子的全连续性 148

4．线性算子空间 150

15.4习题 152

15.5 希尔伯特空间上的自伴算子 154

1．希尔伯特空间上的自伴算子 154

2．希尔伯特空间上自伴全连续算子的特征展开 161

15.5习题 167

16．变分法 169

16.1 变分的基本概念 169

16.2 固定边界的变分问题 173

1．最简泛函的欧拉方程 173

2．含多个函数的泛函 179

3．含高阶导数的泛函 181

4．含多元函数的泛函 184

16.2习题 188

16.3 可动边界变分问题的自然边界条件 188

16.3习题 193

16.4 泛函的条件极值问题 193

1．短程线问题 194

2．等周问题 199

16.4习题 202

16.5 变分问题的直接法 203

1．里兹法 203

2．坎托罗维奇法 206

16.5习题 208

16.6 变分原理 209

16.6习题 216

17．积分方程 217

17.1 积分方程的基本概念 217

17.1习题 218

17.2 迭代法 218

1．压缩算子 218

2．第二种弗雷德霍姆方程 219

3．第二种沃尔泰拉Volterra方程 222

4．例题 224

5．具有弱奇性核的积分方程 225

17.2习题 227

17.3 弗雷德霍姆理论 228

1．有退化核的积分方程 230

2．连续核与L2核的情形 234

17.3习题 237

17.4 弗雷德霍姆积分方程解的表达式 237

1．退化核的情形 237

2．连续核的情形 238

3．例题 239

17.4习题 243

17.5 埃尔米特积分方程 243

17.5习题 255

18．群论 256

18.1 群的概念 256

1．群的定义 256

2．群的简单性质 258

3．群的例子 260

4．循环群 264

5．置换群 265

18.1习题 269

18.2 子群与陪集 270

1．子群 270

2．陪集 272

18.2习题 274

18.3 共轭类与不变子群 274

1．共轭类 275

2．不变子群 277

3．商群 279

18.3习题 280

18.4 群的直积 280

1．内部直积 280

2．外部直积 283

18.5 同构与同态 284

1．同构 284

2．同态 287

18.5习题 290

18.6 群的线性表示 291

1．线性表示 291

2．诱导变换群给出的表示 293

18.7 等价表示与可约表示 297

1．等价表示 297

2．可约表示 299

18.8 群表示的特征标 302

18.9 群的正则表示 305

1．群代数 305

2．正则表示 307

18.9习题 308

18.10 局部李群 309

1．局部李群的定义 309

2．无穷小变换 311

3．结构常数 314

18.10习题 315

19．张量与外代数 316

19.1 对偶向量空间 316

1．对偶向量空间的概念 316

2．逆变向量与协变向量 319

19.1习题 320

19.2 张量 321

1．张量的定义 321

2．张量的分量 322

3．对称张量与反对称张量 325

19.2习题 327

19.3 张量的代数运算 328

1．张量的线性运算 328

2．张量的乘积、缩短、积和 329

3．张量的商定律 331

4．指标置换、对称化、反对称化 332

19.3 习题 334

19.4 欧几里得向量空间 335

1．欧几里得向量空间的概念 335

2．张量的指标下降、上升 337

19.4习题 338

19.5 外代数 338

1．外形式 339

2．外乘积、外代数 340

19.5习题 342

20．微分流形概要 343

20.1 微分流形的定义 343

20.1习题 347

20.2 切空间与余切空间 348

1．切空间 348

2．余切空间 350

3．向量场与张量场 351

20.2习题 353

20.3 外微分 354

1．外微分形式 354

2．外微分 354

20.3习题 359

20.4 流形上的积分 360

1．单位分解定理 360

2．流形上的积分 363

3．斯托克斯定理 364

20.4习题 369

20.5 黎曼流形的概念 369

1．黎曼流形的定义 369

2．黎曼流形的线素 370

3．测地线 371

20.5习题 373

20.6 仿射联络 协变导数 374

1．平行移动、仿射联络 374

2．协变导数 377

3．仿射联络系数的变换规律 378

20.6习题 380

20.7 黎曼联络 380

1．度量仿射联络 380

2．黎曼联络 382

3．梯度、旋度与散度的表达式 385

20.7习题 387

20.8 曲率 387

1．曲率张量与李西恒等式 387

2．曲率张量的性质 389

3．断面曲率 392

4．常曲率空间 393

20.8习题 394