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第1篇 复变函数论 3

第1章 复数与复变函数 3

1.1复数的概念及其表示方法 3

1.1.1复数的概念 3

1.1.2复数的几何表示 3

1.2复数的基本代数运算 6

1.2.1复数的四则运算 6

1.2.2复数的乘幂与方根 7

1.3复变函数 9

1.3.1区域的相关概念 9

1.3.2复变函数的概念 10

1.3.3复变函数的几何意义 11

1.4复变函数的极限与连续性 11

1.4.1复变函数的极限 11

1.4.2复变函数的连续性 12

习题1 13

第2章 解析函数 15

2.1复变函数的导数 15

2.1.1导数的概念 15

2.1.2求导法则 16

2.1.3微分的概念 16

2.1.4可导与连续的关系 17

2.1.5可导的必要条件：柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）条件 17

2.1.6可导的充要条件 19

2.2解析函数的概念及充要条件 20

2.2.1解析函数的概念 20

2.2.2解析函数的运算法则 21

2.2.3函数在区域内解析的充要条件与判别方法 21

2.2.4解析函数与调和函数的关系 21

2.2.5解析函数的构建 22

2.3初等解析函数 24

2.3.1单值函数 25

2.3.2多值函数 26

2.4解析函数的应用——平面场的复势 27

2.4.1用复变函数刻画平面向量场 27

2.4.2平面静电场 28

2.4.3平面稳定温度场 30

习题2 31

第3章 复变函数的积分 33

3.1复变函数积分的概念与基本性质 33

3.1.1复变函数积分的概念 33

3.1.2复积分的存在条件与计算 33

3.1.3复积分的性质 34

3.2柯西定理 36

3.2.1单通区域柯西定理 36

3.2.2不定积分 38

3.2.3复通区域柯西定理 38

3.3柯西积分公式与高阶导数公式 40

3.3.1柯西积分公式 40

3.3.2高阶导数公式 41

3.3.3柯西积分公式的几个推论 42

习题3 42

第4章 解析函数的幂级数展开 44

4.1复数项级数与复变函数项级数 44

4.1.1复数项级数 44

4.1.2复变函数项级数 46

4.2幂级数 47

4.2.1幂级数的概念 47

4.2.2收敛圆与收敛半径 48

4.2.3幂级数的性质 50

4.3解析函数的泰勒级数展开 50

4.3.1泰勒展开定理 50

4.3.2泰勒展开方法 52

4.4解析函数的洛朗级数展开 55

4.4.1双边幂级数 55

4.4.2洛朗展开定理 56

4.4.3洛朗展开方法 58

4.5孤立奇点的分类与判别 60

4.5.1孤立奇点 60

4.5.2孤立奇点的分类 60

4.5.3极点与零点的关系 62

4.6解析函数在无穷远点的性态 63

4.7解析延拓 65

4.7.1解析延拓的概念 65

4.7.2唯一性定理 65

4.7.3解析延拓的方法 66

习题4 66

第5章 留数理论及其应用 68

5.1留数及留数定理 68

5.1.1留数的概念 68

5.1.2留数定理 69

5.1.3留数的计算 69

5.2应用留数定理计算实定积分 71

5.2.1形如？2π0（cosx，sinx）dx的积分 72

5.2.2形如？∞-∞f（x）dx的积分 72

5.2.3形如，？∞0f（x）cosmxdx，？∞0g（x）sinmxdx（m＞0）的积分 74

5.2.4实轴上有奇点的情形 75

5.3留数在力学上的应用举例 77

5.3.1电场内总电荷与功的计算 77

5.3.2机翼剖面的夏甫莱金升力公式 78

习题5 78

第6章 共形映射 80

6.1共形映射的概念 80

6.1.1导数的几何意义 80

6.1.2共形映射的概念 82

6.2分式线性映射 83

6.2.1分式线性映射的概念 83

6.2.2分式线性映射的分解 83

6.2.3分式线性映射的性质 85

6.3唯一决定分式线性映射的条件 87

6.4几个初等函数所构成的映射 91

6.4.1幂函数w=zn（n≥2为自然数） 91

6.4.2指数函数w=ez 92

6.5关于共形映射的几个一般性定理 93

6.6共形映射的应用 94

6.6.1热传导问题 94

6.6.2电位分布问题 95

习题6 95

第2篇 积分变换 99

第7章 傅里叶变换 99

7.1傅里叶级数 99

7.1.1周期函数的傅里叶展开 99

7.1.2奇函数与偶函数的傅里叶展开 100

7.1.3定义在有限区间上的函数的傅里叶展开 101

7.1.4复数形式的傅里叶级数 101

7.2傅里叶变换的定义及性质 102

7.2.1非周期函数的傅里叶展开问题 102

7.2.2傅里叶积分定理 102

7.2.3傅里叶变换的概念 103

7.2.4傅里叶变换的基本性质 104

7.3 δ函数 广义傅里叶变换 108

7.3.1 δ函数的定义 108

7.3.2 δ函数的导数 110

7.3.3 δ函数的性质 110

7.3.4广义傅里叶变换 112

7.4傅里叶变换在频谱分析中的应用 113

7.4.1周期函数的频谱 113

7.4.2非周期函数的频谱 115

7.5小波变换介绍 116

习题7 118

第8章 拉普拉斯变换 120

8.1拉普拉斯变换的概念 120

8.1.1拉普拉斯变换的引入 120

8.1.2拉普拉斯变换的概念 121

8.1.3一些常用函数的拉普拉斯变换 122

8.1.4拉普拉斯变换存在定理 123

8.2拉普拉斯变换的性质 123

8.3拉普拉斯变换的反演 128

8.3.1部分分式反演法 128

8.3.2查表法 128

8.3.3卷积定理法 129

8.3.4利用留数计算反演积分法 129

8.4拉普拉斯变换的应用 130

8.4.1利用拉普拉斯变换求解线性微分（积分）方程的步骤 130

8.4.2拉普拉斯变换应用举例 131

8.5 z变换 134

8.5.1 z变换与拉普拉斯变换的关系 134

8.5.2 z变换的定义 135

8.5.3 z变换存在定理 135

8.5.4 z变换的性质 135

8.5.5 z变换的应用 136

习题8 137

第3篇 特殊函数与数学物理方程 141

第9章 勒让德函数 141

9.1二阶线性齐次常微分方程的级数解 141

9.1.1二阶线性齐次常微分方程的常点与奇点 141

9.1.2方程常点邻域内的级数解定理 142

9.1.3方程正则奇点邻域内的级数解定理 142

9.2勒让德多项式的定义 143

9.2.1勒让德方程的本征值问题 143

9.2.2勒让德多项式的级数表示 145

9.2.3勒让德多项式的微分与积分表示 147

9.3勒让德多项式的性质 148

9.3.1勒让德多项式的母函数 148

9.3.2勒让德多项式的递推公式 150

9.3.3勒让德多项式的正交归一性 151

9.3.4广义傅里叶级数 153

9.4连带勒让德函数 154

9.4.1连带勒让德函数的定义 154

9.4.2连带勒让德函数的微分表达式 155

9.4.3连带勒让德函数的母函数 155

9.4.4连带勒让德函数的递推公式 156

9.4.5连带勒让德函数的正交归一性 156

9.4.6连带勒让德函数的广义傅里叶级数展开 157

习题9 157

第10章 贝塞尔函数 159

10.1贝塞尔函数的定义 159

10.1.1贝塞尔方程的级数解 159

10.1.2三类贝塞尔函数 160

10.2贝塞尔函数的性质 163

10.2.1贝塞尔函数的图形与特殊值 163

10.2.2贝塞尔函数的递推公式 164

10.2.3贝塞尔函数的母函数 165

10.2.4贝塞尔方程的本征值问题 166

10.2.5贝塞尔函数的正交归一性 166

10.2.6广义傅里叶级数 168

10.3虚宗量贝塞尔函数 168

10.3.1虚宗量贝塞尔方程 168

10.3.2虚宗量贝塞尔函数的表达式 168

10.3.3虚宗量贝塞尔函数的性质 170

10.4球贝塞尔函数 170

10.4.1球贝塞尔方程 170

10.4.2球贝塞尔函数的表达式 170

10.4.3球贝塞尔函数的性质 171

习题10 171

第11章 数学物理定解问题 173

11.1数学物理方程的导出 174

11.1.1波动方程 174

11.1.2热传导方程 178

11.1.3稳定场方程 180

11.2定解条件与定解问题 181

11.2.1初始条件 181

11.2.2边界条件 182

11.2.3定解问题及其适定性 185

11.3数学物理方程的分类 186

11.3.1二阶线性偏微分方程 186

11.3.2含两个自变量方程的分类 186

11.3.3含两个自变量方程的化简 186

11.3.4线性偏微分方程的叠加原理 188

习题11 189

第12章 行波法与积分变换法 190

12.1一维波动方程的达朗贝尔解 190

12.1.1达朗贝尔（D’Alembert）公式 190

12.1.2解的物理意义 191

12.1.3定解问题的整体性 192

12.2傅里叶变换法求解定解问题 193

12.3拉普拉斯变换法求解定解问题 196

习题12 198

第13章 分离变量法 200

13.1齐次泛定方程的分离变量 200

13.1.1一维波动方程的分离变量 200

13.1.2一维热传导方程的分离变量 206

13.1.3二维矩形区域内拉普拉斯方程的分离变量 208

13.1.4二维圆形区域内拉普拉斯方程的分离变量 212

13.2非齐次泛定方程的分离变量 215

13.2.1本征函数展开法 216

13.2.2冲量定理法 218

13.2.3特解法 224

13.3非齐次边界条件下的分离变量 227

13.4斯图姆-刘维尔（Sturm-Liouville）本征值问题 228

13.4.1斯图姆刘维尔型方程 229

13.4.2斯图姆-刘维尔本征值问题的一般提法 230

13.4.3斯图姆-刘维尔本征值问题的一般性质 230

习题13 231

第14章 正交曲面坐标系中的分离变量法 234

14.1拉普拉斯算符在球坐标系和柱坐标系中的表达式 234

14.1.1球坐标系中拉普拉斯算符的表达式 234

14.1.2柱坐标系中拉普拉斯算符的表达式 235

14.2球坐标系中的分离变量 235

14.2.1拉普拉斯方程的分离变量 235

14.2.2波动方程与热传导方程的分离变量 240

14.2.3亥姆霍兹方程的分离变量 241

14.3柱坐标系中的分离变量 243

14.3.1拉普拉斯方程的分离变量 243

14.3.2亥姆霍兹方程的分离变量 245

习题14 248

第15章 格林函数法 249

15.1泊松方程的格林函数法 249

15.1.1第一边值问题（狄利克雷问题） 250

15.1.2第二边值问题 251

15.1.3第三边值问题 251

15.2用镜像法和冲量定理法求格林函数 252

15.2.1用镜像法求格林函数 252

15.2.2用冲量定理法求格林函数 255

15.3格林函数的一般求法 257

习题15 259

第16章 其他方法介绍 260

16.1保角变换法 260

16.1.1保角变换及其性质 260

16.1.2几种常用的保角变换 261

16.2变分法 265

16.2.1变分法的概念 266

16.2.2变分问题与微分方程的求解 266

习题16 268

附录 271

附录A勒让德方程的级数解（9.2.7）和（9.2.8）在x=±1发散 271

附录B Γ函数（第二类欧拉积分） 273

附录C诺伊曼函数 279

附录D傅里叶变换函数表 282

附录E拉普拉斯变换函数表 283

附录F z变换函数表 286

附录G高斯函数和误差函数 289

部分习题答案 290

参考文献 300