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第一章 线性空间与线性映射 1

1.1线性空间 1

1.1.1线性空间的概念与性质 1

1.1.2向量组的线性相关性 3

1.1.3线性空间的基、维数与坐标 4

1.1.4基变换与坐标变换 6

1.2线性子空间 10

1.2.1子空间的概念与性质 10

1.2.2值域、核与特征子空间 12

1.2.3子空间的交与和 14

1.3线性映射与线性变换 18

1.3.1线性映射的概念与性质 19

1.3.2线性映射的矩阵表示 21

1.3.3线性映射的核与值域 23

1.3.4再论线性变换与矩阵 27

1.4线性变换的不变子空间 29

1.5线性空间的同构 32

习题一 33

第二章 内积空间与赋范线性空间 37

2.1欧氏空间与酉空间 37

2.1.1欧氏空间与酉空间 37

2.1.2内积在基下的矩阵 39

2.2标准正交基与向量的正交化 41

2.2.1向量的度量性质 41

2.2.2标准正交基 43

2.2.3向量的正交化 44

2.3正交子空间 47

2.3.1子空间的正交 47

2.3.2正交子空间的和 48

2.4酉（正交）变换 正交投影 50

2.4.1酉（正交）变换 50

2.4.2正交投影 51

2.5向量范数与矩阵范数 53

2.5.1向量范数的概念与性质 53

2.5.2 Cn上的常用范数及性质 56

2.5.3矩阵范数的概念与性质 61

2.5.4 Cn×n上常用的范数及其性质 62

2.6向量范数与矩阵范数的相容性 64

2.6.1相容性的定义 65

2.6.2由已知向量范数生成的与其相容的矩阵范数（算子范数） 66

习题二 71

第三章 特殊矩阵与方阵的标准型 74

3.1单纯矩阵与正规矩阵 74

3.1.1方阵的特征值与特征向量 74

3.1.2可对角化矩阵的条件与单纯矩阵 77

3.1.3正规矩阵及其对角化 82

3.2方阵的若当（Jondan）标准型 86

3.2.1 λ—矩阵与Smith标准型 86

3.2.2行列式因子、不变因子与初等因子 87

3.2.3 Jordan（若当）标准型 92

3.3幂等矩阵与幂零矩阵 96

3.3.1幂等阵 96

3.3.2幂等变换 97

3.3.3幂零矩阵 98

3.4 Hermite矩阵与Hermite二次型 101

3.4.1 Hermite矩阵 101

3.4.2 Hermite二次型 103

3.4.3 Hermite矩阵的广义特征值 109

3.4.4 Hermite矩阵的瑞利（Rayleigh）商 110

习题三 111

第四章 矩阵分解 113

4.1矩阵的三角分解和正交三角分解 113

4.1.1 Crout分解和H矩阵的Cholesky分解 113

4.1.2矩阵UR分解 117

4.2矩阵的满秩分解 119

4.3单纯矩阵的谱分解 121

4.4矩阵的奇异值分解 126

4.5矩阵的极分解 131

习题四 133

第五章 矩阵的广义逆矩阵 134

5.1 M-P逆 134

5.1.1 M-P逆A+ 134

5.1.2 A的｛i，j，k}逆 137

5.2具有指定的值域和零空间的｛1，2｝逆 139

5.3群逆 143

5.4广义逆与线性方程组 144

5.4.1线性方程组Ax=b的通解 144

5.4.2极小范数最小二乘解 146

习题五 148

第六章 矩阵分析 149

6.1矩阵序列与极限 149

6.2矩阵幂级数 154

6.2.1矩阵级数的概念和性质 154

6.2.2矩阵幂级数 156

6.3矩阵的Kronecker积 160

6.3.1 Kronecker积的概念与性质 160

6.3.2 Kronecker积的特征值与特征向量 164

6.4 函数矩阵的微分 165

6.4.1函数矩阵对变量的导数 165

6.4.2数量值函数对矩阵变量的导数 168

6.4.3矩阵值函数对矩阵变量的导数与微分 171

6.5 函数矩阵的积分 175

6.5.1函数矩阵的积分 175

6.5.2函数向量的线性相关性 175

习题六 179

第七章 矩阵多项式与矩阵函数 181

7.1矩阵多项式 181

7.1.1化零多项式与Cayley-Hamilton定理 181

7.1.2最小多项式 183

7.2矩阵函数 186

7.2.1矩阵函数的幂级数定义 187

7.2.2由解析函数所确定的矩阵函数 189

7.2.3矩阵函数的计算 190

习题七 193

参考文献 195