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第一章 一元多项式的基本理论 1

第一节 数域 1

第二节 一元多项式的定义和运算 1

第三节 多项式的整除性 4

第四节 多项式的最高公因式 6

第五节 多项式的分解 10

第六节 多项式的根 14

一、多项式函数 14

二、多项式的根 16

三、复系数多项式的根 16

四、方程的变形 19

习题 22

第二章 实系数多项式 27

第一节 根的共轭性 27

第二节 根模的界限 28

第三节 Sturm定理 31

第四节 Descartes符号律 36

习题 38

第三章 行列式 40

第一节 行列式的定义 40

第二节 行列式的性质 48

第三节 行列式对任意行（列）的展开公式 53

第四节 行列式的计算 56

第五节 Cramer法则 64

习题 69

第四章 向量和矩阵 76

第一节 向量及其运算 76

一、向量的概念 76

二、向量的运算 77

三、向量的Euclid长度 80

第二节 矩阵及其运算 81

一、矩阵的概念 81

二、矩阵的运算 83

三、对称矩阵 91

四、几种特殊形式的矩阵及其在乘法运算中的作用 92

第三节 矩阵乘积的行列式 97

第四节 矩阵的分块 99

一、分块矩阵 99

二、分块矩阵的运算 100

三、矩阵的列向量和行向量 108

四、排列矩阵 110

第五节 逆矩阵 112

第六节 直交矩阵和酉矩阵 123

习题 128

第五章 线性空间和线性变换 138

第一节 线性空间的定义和例子 138

第二节 维数 142

一、相关性概念 142

二、相关向量系的性质 143

三、有限维空间 148

第三节 基底与坐标 150

第四节 子空间 157

一、子空间的定义和例 157

二、子空间的和与交 159

三、子空间的直接和 162

第五节 线性空间的同构 164

一、映射 164

二、线性空间的同构 166

第六节 内积空间 170

一、Euclid空间 170

二、直交性概念 174

三、Euclid空间的直交分解 182

四、酉空间 185

第七节 线性变换 187

一、线性映射 187

二、线性映射的运算 189

三、线性变换的矩阵表示 192

四、直交变换和酉变换 202

五、对称变换 206

六、象空间和核空间 207

七、不变子空间 209

八、投影变换 211

习题 217

第六章 线性方程组 232

第一节 矩阵的秩 232

第二节 线性方程组的相容性 239

第三节 齐次方程组的解空间 241

第四节 线性方程组的解法 243

第五节 线性最小二乘问题和广义逆矩阵 249

一、线性方程组的最小二乘解 249

二、广义逆矩阵 253

习题 256

第七章 矩阵的特征值问题 263

第一节 特征值和特征向量 263

一、矩阵的特征值和特征向量定义 263

二、矩阵的特征值和特征向量的计算 263

三、特征值和特征向量的例 265

四、Hamilton-Cayley定理 267

五、线性变换的特征值和特征向量 268

第二节 特征值和特征向量的基本性质 271

第三节 实对称矩阵 277

一、实对称矩阵的特征值和特征向量 277

二、实矩阵的三角化 278

三、实对称矩阵的对角化 280

四、实对称矩阵的特征向量系 280

五、复矩阵的情形 281

六、实对称矩阵的谱分解 281

第四节 特征值的估计 282

一、Gerschg？rin圆 282

二、Gerschg？rin圆的一些应用 284

习题 287

第八章 实二次型 292

第一节 实二次型及其简化 292

一、实二次型的定义 292

二、实二次型的简化 293

三、实二次型的分类 297

第二节 正定二次型与正定矩阵 299

一、正定性概念 299

二、正定矩阵的性质 300

三、判断正定矩阵的方法 302

第三节 实二次型的极性 304

一、Rayleigh商 304

二、Rayleigh商的极性 304

三、二次型的值域 306

四、实对称矩阵特征的分隔定理 306

第四节 广义特征值问题简介 308

一、广义特征值问题 308

二、广义特征向量的共轭性 309

习题 312

附录 Jordan标准形 314