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第一章 概率论基础和离散时间鞅论 1

1.1 概率论的基本概念 1

1.1.1 事件与概率 1

1.1.2 独立性，0-1律和Borel-Cantelli引理 3

1.1.3 积分、随机变量的（数学）期望 4

1.1.4 收敛定理 6

1.2 条件数学期望 7

1.2.1 定义和基本性质 7

1.2.2 收敛定理 12

1.2.3 两个有关条件期望的定理 13

1.3 空间L∞（Ω，F）和L∞（Ω，F；m）的对偶 14

1.4 一致可积随机变量族 16

1.5 离散时间鞅 19

1.5.1 基本定义 19

1.5.2 基本定理 21

1.5.3 鞅变换 23

1.5.4 Snell包络 26

1.6 Markov序列 27

第二章 离散时间投资组合选择理论 29

2.1 均值-方差分析 29

2.1.1 没有无风险证券情形下的均值-方差前沿组合 30

2.1.2 没有无风险证券情形下均值-方差分析的新表述 33

2.1.3 存在无风险证券情形下的均值-方差前沿组合 38

2.1.4 均值-方差效用函数 40

2.2 资本资产定价模型（CAPM） 42

2.2.1 市场竞争均衡与市场组合 42

2.2.2 存在无风险证券时的CAPM 43

2.2.3 没有无风险证券时的CAPM 46

2.2.4 利用CAPM的均衡定价 47

2.3 套利定价理论（APT） 48

2.4 均值-半方差模型 51

2.5 多阶段均值-方差分析理论 52

2.6 期望效用理论 55

2.6.1 效用函数 56

2.6.2 Arrow-Pratt风险厌恶函数 57

2.6.3 风险厌恶程度的比较 58

2.6.4 由随机序定义的偏好 59

2.6.5 期望效用最大化与风险资产的初始价格 62

2.7 基于消费的资产定价模型 63

第三章 离散时间金融市场模型和未定权益定价 65

3.1 基本概念 65

3.1.1 未定权益和期权 65

3.1.2 卖权-买权平价关系 65

3.2 二叉树模型 66

3.2.1 单期情形 66

3.2.2 多期情形 67

3.2.3 近似连续交易情形 69

3.3 一般的离散时间模型 70

3.3.1 基本框架 70

3.3.2 套利策略和容许策略 72

3.4 无套利市场的鞅刻画 73

3.4.1 有限状态市场情形 73

3.4.2 一般情形：Dalang-Morton-Willinger定理 74

3.5 欧式未定权益定价 77

风险中性定价 77

3.6 期望效用最大化和欧式未定权益定价：鞅方法 79

3.6.1 一般效用函数情形 79

3.6.2 HARA效用函数及其对偶情形 81

3.6.3 基于效用函数的未定权益定价 83

3.6.4 市场均衡定价 85

3.7 美式未定权益定价 88

3.7.1 完全市场中卖方的超对冲策略 88

3.7.2 完全市场中买方最优停止策略和无套利定价 89

3.7.3 非完全市场中美式未定权益的无套利定价 90

第四章 鞅论和It？随机分析 91

4.1 连续时间随机过程 91

4.1.1 随机过程的基本概念 91

4.1.2 Poisson过程和复合Poisson过程 92

4.1.3 Markov过程 94

4.1.4 Brown运动 96

4.1.5 停时、鞅、局部鞅 97

4.1.6 有限变差过程 98

4.1.7 连续局部下鞅的Doob-Meyer分解 98

4.1.8 连续局部鞅和半鞅的二次变差过程 101

4.2 关于Brown运动的随机积分 105

4.2.1 Wiener积分 106

4.2.2 It？随机积分 106

4.3 It？公式、Girsanov定理和鞅表示定理 111

4.3.1 It？公式 111

4.3.2 Brown运动的Lévy鞅刻画 114

4.3.3 Brown运动的反射原理 114

4.3.4 随机指数和Novikov定理 115

4.3.5 Girsanov定理 117

4.4 It？随机微分方程 120

4.4.1 解的存在唯一性 120

4.4.2 例子 122

4.5 It？扩散过程 126

4.6 Feynman-Kac公式 127

4.7 Snell包络（连续时间情形） 128

4.8 倒向随机微分方程 129

第五章 Black-Scholes模型及其修正 134

5.1 未定权益定价和对冲的鞅方法 134

5.1.1 Black-Scholes模型 134

5.1.2 等价鞅测度 136

5.1.3 欧式未定权益的定价和对冲 137

5.1.4 美式未定权益定价 139

5.2 期权定价的一些例子 142

5.2.1 标的股票具有红利率的期权 142

5.2.2 外汇期权 142

5.2.3 复合期权 143

5.2.4 选择者期权 144

5.3 Black-Scholes公式的实际应用 145

5.3.1 历史波动率和隐含波动率 145

5.3.2 Delta对冲和期权价格的敏感性分析 145

5.4 在Black-Scholes公式中捕捉偏差 146

5.4.1 CEV模型和水平依赖波动率模型 147

5.4.2 随机波动率模型 149

5.4.3 SABR模型 150

5.4.4 方差-Gamma（VG）模型 151

5.4.5 GARCH模型 152

第六章 奇异期权的定价和对冲 153

6.1 Brown运动和它的极值联合分布 153

6.2 障碍期权 156

6.2.1 单障碍期权 157

6.2.2 双障碍期权 157

6.3 亚式期权 158

6.3.1 几何平均亚式期权 158

6.3.2 算术平均亚式期权 160

6.4 回望期权 166

6.4.1 回望执行价期权 166

6.4.2 回望基价期权 168

6.5 重置期权 169

第七章 It？过程和扩散过程模型 171

7.1 It？过程模型 171

7.1.1 自融资交易策略 171

7.1.2 等价鞅测度与无套利 173

7.1.3 欧式未定权益的定价和对冲 177

7.1.4 计价单位的改变 178

7.2 期权定价的PDE方法 180

7.3 用概率方法求欧式期权定价显式解 181

7.3.1 时间和刻度变换 181

7.3.2 Merton模型下的期权定价 182

7.3.3 一般非线性约化方法 183

7.3.4 CEV模型下的期权定价 184

7.4 美式未定权益的定价 186

第八章 利率期限结构模型 187

8.1 债券市场 187

8.1.1 基本概念 187

8.1.2 债券价格过程 188

8.2 短期利率模型 190

8.2.1 单因子模型和仿射期限结构 190

8.2.2 单因子模型的函数变换方法 194

8.2.3 多因子短期利率模型 197

8.2.4 远期利率模型：HJM模型 199

8.3 远期价格和期货价格 201

8.3.1 远期和期货 201

8.4 利率衍生品的定价 203

8.4.1 基于函数变换方法的利率模型下的PDE方法 203

8.4.2 远期测度方法 206

8.4.3 计价单位改变方法 206

8.5 Flesaker-Hughston模型 208

8.6 BGM模型 210

第九章 扩散过程模型下的最优投资组合与投资-消费策略 213

9.1 市场模型与投资-消费策略 213

9.2 期望效用最大化 215

9.3 均值-风险投资组合选择 222

9.3.1 一般均值-风险模型框架 222

9.3.2 加权均值-方差模型 223

9.4 从效用函数看不完备市场中的期权定价 225

第十章 静态风险度量 228

10.1 一致风险度量 228

10.1.1 币值风险度量和一致风险度量 228

10.1.2 一致风险度量的表示 230

10.2 共单调次可加的风险度量 232

10.2.1 共单调次可加风险度量的表示：无模型情形 233

10.2.2 共单调次可加风险度量表示：模型依赖情形 236

10.3 凸风险度量 237

10.3.1 凸风险度量的表示：无模型情形 238

10.3.2 凸风险度量的表示：模型依赖情形 239

10.4 共单调凸风险度量 240

10.4.1 共单调凸风险度量的表示：无模型的情形 240

10.4.2 共单调凸风险度量的表示：模型依赖情形 242

10.5 分布不变的风险度量 243

10.5.1 分布不变的一致风险度量 243

10.5.2 分布不变的凸风险度量 248

10.5.3 有关随机序和分位数的几个结果 248

10.5.4 分布不变的共单调次可加风险度量 251

10.5.5 分布不变的共单调凸风险度量 259

参考文献 266

索引 283

《现代数学基础丛书》已出版书目 291