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第1章 随机变量和概率分布 1

1.1统计动力学的任务 1

1.2一般定义 2

1.3无规行走、正常扩散 9

1.4平均 11

1.5中心极限定理 13

1.5.1正常中心极限定理 13

1.5.2宽分布的中心极限定理 15

1.5.3中心极限定理的物理价值 17

1.6马尔可夫过程 17

1.6.1稳定马尔可夫过程的定义 17

1.6.2 Ornstein-Uhlenbeck过程 18

1.6.3几点注意 19

1.7宏观过程不可逆性的统计基础 20

1.7.1马尔可夫层级关系 20

1.7.2概率假设的时间之箭 21

习题 22

第2章 演化方程 24

2.1从微观动力学到宏观分布函数 24

2.1.1微观动力系统 24

2.1.2海森伯绘景和薛定谔绘景 25

2.2 Chapman-Kolmogorov方程 27

2.2.1 Chapman-Kolmogorov方程的推导 28

2.2.2两个简单的马尔可夫过程 29

2.3微分Chapman-Kolmogorov方程 30

2.4确定性过程和刘维尔方程 30

2.5跳跃过程和主方程 31

2.6扩散过程和福克尔-普朗克方程 32

2.7刘维尔主方程 36

2.8一些具体的马尔可夫过程 37

习题 42

第3章 反常扩散现象 45

3.1宽分布导致超扩散 46

3.1.1莱维飞行和物理应用 46

3.1.2洛伦兹气体中几何诱发反常扩散 47

3.1.3聚合物吸附和自消除莱维飞行 47

3.2长等待时间诱发欠扩散 48

3.2.1晶格上的无规行走 48

3.2.2梳状结构中的扩散 49

3.2.3间歇动力系统中的反常扩散 50

3.2.4反常扩散实验 52

3.3长程关联 53

3.3.1关联的实用性 53

3.3.2极限分布的形状 54

3.3.3几何关联和反常扩散 54

3.3.4扩散行为 55

3.4俘获、位垒和无规力 56

3.4.1模型 56

3.4.2电子和力学问题的等价性 57

3.4.3随机场伊辛模型的应用 65

3.5分数阶布朗运动 67

第4章 非各态历经随机运动 70

4.1涨落耗散定理与扩散系数 70

4.2各态历经判据 72

4.2.1 Brinkhof f判据 72

4.2.2 Khinchin判据 73

4.2.3 Lee判据 75

4.2.4内在判据和外在表现 77

4.3牛顿和朗之万之间的动力学 78

4.4弹道扩散 79

4.5局域化 83

4.5.1阻尼陷阱 83

4.5.2气体分子与固体表面相互作用 84

4.6外场下的两类非各态历经运动 85

4.6.1简谐速度噪声 85

4.6.2渐进态依赖于初始速度准备 87

4.6.3渐进态依赖于初始坐标准备 89

4.7系统加热库模型的推广 90

4.7.1独立振子模型 91

4.7.2 FKM模型 98

4.7.3 Rubin模型 99

习题 101

第5章 含非欧姆摩擦的广义朗之万方程 103

5.1二次动力学和老化问题 103

5.1.1拉普拉斯变换方法 103

5.1.2非欧姆朗之万模型中的噪声和摩擦 106

5.1.3粒子速度：一次时间特性 108

5.1.4速度关联函数 108

5.1.5粒子位移的老化 109

5.1.6等时关联函数和时间有关的扩散系数 110

5.2涨落与耗散之比 111

5.3倾斜周期势中的反常输运 112

5.3.1动力学模型 112

5.3.2欧姆阻尼情形下的波包劈裂 113

5.3.3欠欧姆阻尼情形下的准周期振荡现象 114

5.3.4超欧姆阻尼情形下的态转换 115

5.4应用举例 118

5.4.1反常热传导 118

5.4.2位垒通过问题 119

5.4.3棘轮整流反常扩散 125

习题 132

第6章 连续时间无规行走 134

6.1醉汉格子行走 134

6.2经典无规行走 136

6.3时空非马尔可夫性 140

6.3.1广义主方程 140

6.3.2分布密度函数 147

6.3.3非马尔可夫扩散方程 149

6.4分数阶扩散方程 157

6.5关联连续时间无规行走 161

6.5.1耦合朗之万方程 161

6.5.2标度分析 163

第7章 分数阶微积分 166

7.1 Grunwald-Letnikov分数阶导数 167

7.1.1整数阶导数和积分的统一 167

7.1.2任意分数阶积分 169

7.1.3任意分数阶导数 170

7.1.4黎曼-刘维尔分数阶导数 172

7.2分数阶导数的性质 172

7.3举例 174

7.3.1从整数阶导数到分数阶导数 174

7.3.2半阶导数和积分 175

7.4分数阶导数的拉普拉斯和傅里叶变换 176

7.4.1拉普拉斯变换 176

7.4.2傅里叶变换 178

7.5分数阶常微分和偏微分方程的解析解 180

7.5.1线性分数阶常微分方程 180

7.5.2线性分数阶偏微分方程 181

7.6分数阶微积分的应用 183

7.6.1分数阶力学 183

7.6.2分数阶微积分的物理解释 189

7.6.3分数阶微积分的实现 191

习题 194

第8章 分数阶朗之万方程 196

8.1分数阶振子和分数阶速度 197

8.1.1分数阶振子动力学 197

8.1.2总能量和相平面表示 199

8.2分数阶朗之万方程的建立 201

8.2.1一般解 202

8.2.2α=1/2和α=3/4的例子 205

8.3过阻尼和欠阻尼的定义 208

8.4对一个外部信号的响应 212

8.5金融市场的分数阶朗之万记忆模型 217

8.5.1利润 217

8.5.2分数阶无规行走 218

8.5.3分数阶随机方程 219

8.6分数阶统计 220

8.6.1分数阶朗之万方程的各种解 220

8.6.2市场活动作为一个不规则过程 225

8.7分数阶资产动力学 228

8.7.1分数阶随机动力学模型 228

8.7.2价格增量涨落分布 231

8.7.3与现实数据的比较 233

习题 234

第9章 分数阶福克尔-普朗克方程 235

9.1接近热平衡的反常扩散和弛豫 235

9.2分数阶福克尔-普朗克方程、解及其应用 239

9.2.1分数阶福克尔-普朗克方程的引入 239

9.2.2积分变换法 241

9.3应用举例 243

9.3.1 d维分数阶自由扩散 243

9.3.2偏压分数阶维纳过程 244

9.3.3分数阶首次通过时间 245

9.4逆莱维变换与连续时间无规行走的关系 248

9.5分数阶克拉默斯方程 253

9.6广义Chapman-Kolmogorov方程 258

9.6.1布朗运动情况 259

9.6.2速度变量积分 261

9.6.3分数阶瑞利方程 262

9.7捕获所产生的慢输运过程 264

9.7.1分数阶克莱因-克拉默斯方程 264

9.7.2莱维行走及其推广：具有莱维型轨道的放大输运 267

9.7.3莱维漫游：在小波数极限下的欠弹道游动 268

9.8莱维飞行：超越有限矩的随机运动 272

99评注 273

第10章 莱维飞行 275

10.1莱维飞行的特性 275

10.2自由莱维飞行 277

10.3常量力下的漂移和加速度 278

10.4线性力和非吉布斯稳态解 280

10.4.1朗之万方程的解 281

10.4.2分离变量方法 282

10.4.3有效时间 283

10.5非线性振子势中的莱维飞行 283

10.5.1实空间方程 284

10.5.2傅里叶空间的方程 286

10.6解析结果 287

10.6.1布朗运动（α=2） 287

10.6.2简谐莱维振子 288

10.6.3四次柯西振子 288

10.6.4非谐莱维振子 292

10.7微扰方法 296

10.7.1分叉时间的存在 297

10.7.2 c＞2的稳定解非单一峰的证明 298

10.7.3稳定解的幂律渐近形式 299

第11章 非广延统计力学 301

11.1 Tsallis熵和Tsallis分布 302

11.1.1非加性熵和非广延统计 302

11.1.2可加性与广延性 303

11.1.3 q-指数统计分布 303

11.1.4更一般约束下的分布 304

11.1.5分数阶媒介中的扩散 305

11.2反常扩散的热力学 305

习题 308

第12章 数值算法 310

12.1噪声产生器 310

12.1.1离散傅里叶变换产生任意色噪声 310

12.1.2时间关联噪声的模拟 310

12.2广义朗之万方程的数值模拟 313

12.2.1非欧姆摩擦情况 313

12.2.2利用傅里叶变换产生任意关联色噪声的数值算法 313

12.2.3粒子在非欧姆阻尼环境中的扩散 315

12.3随机关联势 316

12.4分数阶导数和分数阶微分方程的数值算法 318

12.5连续时间无规行走的蒙特卡罗模拟 319

12.5.1 CTRW模型及其数值实现 319

12.5.2有势情况下的CTRW 324

附录A Mittag-Lef f ler函数 325

A.1单参数Mittag-Lef f ler函数 325

A.2两参数Mittag-Lef f ler函数 326

A.3 Mittag-Lef f ler函数的拉普拉斯变换 326

A.4 Mittag-Lef f ler函数的分数阶导数 327

A.5 Wright函数 327

附录B Fox H函数 329

附录C莱维分布的一些注释和基于Fox函数的精确表示 331

附录Dα稳定随机变量的注记 334

参考文献 335

索引 342

《现代物理基础丛书》已出版书目 348