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目录 1

初等数学基础知识 1

（一）初等代数 1

（二）初等几何 3

（三）平面三角 3

（四）充分必要条件 6

（五）平面解析几何 6

（六）极坐标及极坐标下的曲线方程 7

（七）初等函数的作图问题 9

（一）集合的概念 10

1.1 集合 10

第一章 函数 10

（二）集合的表示方法 11

（三）集合间的关系和运算 11

基本要求与节末注记 13

思考题 13

基本练习题1.1 14

1.2 函数 15

（一）变量与区间 15

（二）函数的概念 17

（三）关于分段函数 22

（四）建立函数关系举例 23

（五）反函数的概念 25

基本要求与节末注记 26

思考题 27

基本练习题1.2 27

1.3 函数的基本性态 29

（一）函数的奇偶性 29

（二）函数的单调性 31

（三）函数的有界性 32

（四）函数的周期性 32

基本练习题1.3 33

思考题 33

基本要求与节末注记 33

1.4 初等函数 34

（一）基本初等函数 34

（二）复合函数 37

（三）初等函数 38

基本要求与节末注记 38

思考题 39

基本练习题1.4 39

1.5 常见经济函数与保本产量 40

（一）常见经济函数 40

基本要求与节末注记 41

（二）保本产量 41

思考题 42

基本练习题1.5 42

习题一 42

第二章 极限与连续 44

2.1 数列的极限 44

（一）数列 44

（二）数列的极限 45

（三）收敛数列的有界性 46

基本要求与节末注记 46

基本练习题2.1 47

思考题 47

2.2 函数的极限 48

（一）x→∞时函数的极限 48

（二）x→x0时函数的极限 49

（三）极限的保号性和有界性 51

基本要求与节末注记 51

思考题 52

基本练习题2.2 52

2.3 无穷小量与无穷大量 52

（一）无穷小量 53

（二）无穷小量的比较 53

（三）无穷大量 54

（四）极限、无穷小量、无穷大量之间的关系 55

基本要求与节末注记 55

思考题 56

基本练习题2.3 56

2.4 极限、无穷小、无穷大概念的进一步说明 57

（一）数列极限的ε—N定义 57

（二）当x→∞时函数极限的ε—M定义 57

（三）当x→x0时函数极限的定义ε—δ定义 60

（四）保号定理和有界性定理的证明 62

（六）极限、无穷小量、无穷大量有关定理的证明 63

（五）无穷小量与无穷大量的严格定义 63

基本要求与节末注记 64

2.5 极限的运算法则 64

（一）极限的四则运算法则 64

（二）几类特殊极限的定值法 66

基本要求与节末注记 69

思考题 70

基本练习题2.5 70

2.6 极限存在的准则、两个重要极限 71

（一）准则Ⅰ与第一个重要极限 71

（二）准则Ⅱ与第二个重要极限 75

思考题 78

基本要求与节末注记 78

基本练习题2.6 79

2.7 函数的连续性 79

（一）函数的增量及其计算 79

（二）连续函数的概念 80

（三）函数的间断点 82

（四）连续函数的运算法则、初等函数的连续性 83

（五）在闭区间上连续函数的性质 84

基本要求与节末注记 85

思考题 85

习题二 86

基本练习题2.7 86

第三章 导数与微分 89

3.1 导数的概念 89

（一）导数问题举例 89

（二）导数的定义 91

（三）可导与连续的关系 92

基本要求与节末注记 94

思考题 95

基本练习题3.1 95

3.2 初等函数的求导法则 96

（一）基本初等函数求导公式 96

（二）导数的四则运算及反函数求导公式 98

（三）复合函数求导公式 102

（四）初等函数的导数 104

（五）初等函数的高阶导数 106

基本要求与节末注记 107

思考题 108

基本练习题3.2 108

3.3 其它形式下函数求导问题 110

（一）隐函数的导数 110

（二）由参数方程给出的函数的导数 112

基本要求与节末注记 113

基本练习题3.3 114

思考题 114

3.4 导数概念应用 115

（一）导数应用举例 115

（二）边际概念 117

（三）弹性概念 118

基本要求与节末注记 119

思考题 120

基本练习题3.4 120

3.5 微分 121

（一）微分概念 121

（二）函数微分与函数增量的关系 122

（三）微分法则 123

（四）微分的应用 125

基本要求与节末注记 126

思考题 127

基本练习题3.5 127

习题三 127

第四章 中值定理、导数的应用 129

4.1 中值定理 129

（一）罗尔中值定理 129

（二）拉格朗日中值定理 130

思考题 134

基本要求与节末注记 134

（三）柯西中值定理 134

基本练习题4.1 135

4.2 罗必达法则—未定式的定值法 135

（一）罗必达法则 135

（二）其它未定式定值法 137

基本要求与节末注记 139

思考题 139

基本练习题4.2 139

4.3 导数在最优化方法中的应用 140

（一）极值的概念 140

（二）函数增减性的判定方法 141

（三）极值点的确定方法 143

（四）导数在最优化方法中的应用 148

基本要求与节末注记 152

思考题 153

基本练习题4.3 154

4.4 曲线凹向、拐点及函数作图问题 155

（一）曲线的凹向与拐点 155

（二）曲线的渐近线 158

（三）函数图形的作法 159

基本要求与节末注记 162

习题四 163

基本练习题4.4 163

思考题 163

第五章 不定积分 165

5.1 不定积分的概念 165

（一）原函数 165

（二）不定积分 166

（三）积分法与微分法的关系 168

基本要求与节末注记 168

思考题 169

基本练习题5.1 169

5.2 基本积分法 169

（一）基本积分表 169

（二）不定积分的性质 170

（三）基本积分法 171

基本要求与节末注记 172

思考题 172

基本练习题5.2 172

5.3 第一类换元积分法—凑微分法 173

（一）第一类换元积分法的基本思路 173

（二）举例 174

（三）常见有理式的积分 176

基本要求与节末注记 181

思考题 181

（一）基本方法 182

基本练习题5.3 182

5.4 第二类换元积分法 182

（二）举例 183

基本要求与节末注记 185

思考题 186

基本练习题5.4 186

5.5 分部积分法 186

（一）分部积分公式 186

（二）举例 187

基本要求与节末注记 189

习题五 190

思考题 190

基本练习题5.5 190

第六章 定积分及其应用 191

6.1 定积分概念 191

（一）定积分概念引例 191

（二）定积分定义 194

（三）用定义计算定积分举例 195

（四）定积分的几何意义 196

6.2 定积分的基本性质 197

基本练习题6.1 197

思考题 197

基本要求与节末注记 197

基本要求与节末注记 200

思考题 200

基本练习题6.2 200

6.3 牛顿—莱布尼兹公式 201

（一）变上限积分 201

（二）微分基本定理—牛顿莱布尼兹公式 203

基本要求与节末注记 205

思考题 205

基本练习题6.3 205

（一）定积分的换元积分法 206

6.4 定积分的换元积分法与分部积分法 206

（二）定积分的分部积分法 208

基本要求与节末注记 208

思考题 209

基本练习题6.4 209

6.5 定积分的应用 210

（一）平面图形的面积 210

（二）体积 212

（三）经济应用问题举例 214

基本要求与节末注记 215

思考题 216

（一）无限区间上的积分 217

基本练习题6.5 217

6.6 广义积分 217

（二）无界函数的积分 219

基本要求与节末注记 220

思考题 221

基本练习题6.6 221

习题六 221

第七章 多元函数微积分 223

7.1 空间解析几何简介 223

（一）空间直角坐标系 223

（三）曲面与方程 224

（二）空间两点的距离公式 224

基本要求与节末注记 228

思考题 229

基本练习题7.1 229

7.2 多元函数的概念 229

（一）多元函数的定义 229

（二）二元函数的定义域、邻域 230

（三）二元函数的几何表示 231

（四）二元函数的极限与连续性 233

（五）有界闭域上二元函数的性质 233

基本练习题7.2 234

思考题 234

基本要求与节末注记 234

7.3 偏导数 235

（一）偏导数的概念 235

（二）多元函数偏导数的计算 236

（三）高阶偏导数 238

基本要求与节末注记 239

思考题 239

基本练习题7.3 239

7.4 全微分 240

（一）全微分及其计算 240

（二）全微分在近似计算中的应用 243

思考题 244

基本练习题7.4 244

基本要求与节末注记 244

7.5 多元复合函数求导法则 245

（一）多元复合函数求导的一般法则 245

（二）多元复合函数求导的一些特殊情况 246

基本要求与节末注记 248

思考题 249

基本练习题7.5 249

（一）含有两个变量的方程所确定的隐函数求导公式 250

7.6 隐函数求导公式 250

（二）含三个变量的方程所确定的隐函数的偏导公式 251

基本要求与节末注记 252

思考题 252

基本练习题7.6 252

7.7 多元函数的极值 253

（一）多元函数的极值 253

（二）二元函数的最大值、最小值 255

（三）条件极值与拉格朗日乘数法 256

思考题 258

基本练习题7.7 258

基本要求与节末注记 258

7.8 二重积分 259

（一）二重积分的定义及简单性质 259

（二）直角坐标系下二重积分的计算 262

（三）极坐标系下二重积分的计算 267

（四）用二重积分求空间立体的体积 269

基本要求与节末注记 271

思考题 271

基本练习题7.8 271

（一）三重积分的定义 273

7.9 三重积分 273

（二）三重积分在直角坐标系下的计算 274

基本练习题7.9 275

习题七 275

第八章 无穷极数 277

8.1 常数项级数的概念和性质 277

（一）常数项级数的概念 277

（二）无穷级数的基本性质 279

基本要求与节末注记 280

思考题 281

基本练习题8.1 281

（一）正项级数收敛的充要条件 282

（二）比较审敛法 282

8.2 正项级数的审敛法 282

（三）比值审敛法 284

基本要求与节末注记 286

思考题 287

基本练习题8.2 287

8.3 任意项级数的审敛法 287

（一）交错级数 287

（二）任意项级数的审敛法 289

基本要求与节末注记 291

思考题 291

基本练习题8.3 291

（一）幂级数的收敛性 292

8.4 幂级数 292

（二）幂级数的性质 294

基本要求与节末注记 295

思考题 296

基本练习题8.4 296

8.5 函数展开成幂级数 296

（一）泰勒公式 297

（二）泰勒级数 299

（三）初等函数的展开式 300

（四）利用幂级数作近似计算 304

思考题 305

基本要求与节末注记 305

基本练习题8.5 306

习题八 306

第九章 微分方程初步 308

9.1 微分方程的概念 308

基本要求与节末注记 311

思考题 311

基本练习题9.1 311

9.2 一阶微分方程 312

（一）可分离变量的微分方程 312

（二）齐次微分方程 313

（三）一阶线性微分方程 316

基本要求与节末注记 319

思考题 319

基本练习题9.2 320

9.3 二阶微分方程 320

（一）二阶常系数齐次线性微分方程 320

（二）其它几种简单二阶微分方程 324

基本要求与节末注记 326

思考题 327

基本练习题9.3 327

习题九 327

习题答案 329