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目录 1

第1章　求非线性Schr？dinger方程的孤子解的 1

亚纯变换矩阵方法 1

1.1　非线性Schr？dinger方程 3

1.2　亚纯变换矩阵方法 5

1.3　Darboux变换的确定 10

1.4　NLS方程的单孤子解 14

1.5　Zakharov-Shabat线代数方程 16

1.6　解的正则性与Darboux变换极点的位置 22

第2章　非线性Schr？dinger方程多孤子解的显式 26

2.1 以矩阵形式表出的线代数方程 27

2.2　线代数的计算技巧 29

2.3　NLS方程的N孤子解的显式 31

2.4　NLS方程的2孤子解 33

2.5　N孤子解的渐近行为 35

2.6 非稳定介质中的NLS方程的N孤子解在 38

大的时间极限时的渐近行为 38

第3章　非线性Schr？dinger方程的反散射解法 42

3.1　NLS方程和它的Lax对 43

3.2　Jost解和它们的解析性 45

3.3　散射矩阵 49

3.4　Jost解的渐近行为 52

3.5　Zakharov-Shabat反散射方程 54

3.6　散射数据随时间的演化 58

3.7　a（t，λ）的表示式和NLS方程的无穷多个守恒律 62

3.8　Marchenko反散射方程 65

微扰解法 72

第4章　含修正的非线性Schr？dinger方程的 72

4.1 含修正的NLS方程的微扰解法 74

4.2 以反散射方法为基础的微扰处理 76

4.3　束缚态解时谱参数λ随时间的演化 79

4.4　束缚态解时bn（t）随时间的演化 82

4.5　守恒律的微扰修正 86

4.6　绝热近似 88

4.7　谱参数的缓慢变化 91

4.8　孤子形状的改变 95

解的亚纯变换矩阵方法 99

第5章　求变形的非线性Schr？dinger方程的孤子 99

5.1 变形的非线性Schr？dinger方程（MNLS方程） 100

5.2　亚纯变换矩阵方法 101

5.3　Darboux变换的确定和MNLS方程的多孤子解的 105

递归公式 105

5.4　MNLS方程的单孤子解 108

5.5　决定Fy（x,t,ξ）的线代数方程 110

5.6 N孤子解的表示式和亚纯变换矩阵方法的验证 114

5.7　解的正则性的条件 119

5.8　谱参数的选取 120

第6章　变形的非线性Schc？dinger方程的多孤 126

子解的显式 126

6.1 决定MNLS方程N孤子解的线代数方程的矩阵 126

形式 126

6.2 求N孤子解显式的算法 128

6.3 MNLS方程N孤子解的显式 131

6.4 MNLS方程的N孤子解的渐近行为 135

6.5　MNLS方程的孤子解的实用形式 139

射解法 143

第7章　变形的非线性Schr？dinger方程的反散 143

7.1 变形的非线性Schr？dinger方程和它的新的 144

Lax对 144

7.2　Jost解的解析性和渐近行为 150

7.3　Zakharov-Shabat反散射方程 156

7.4　散射数据随时间的演化 160

7.5　a（t，λ）的表示式和MNLS方程的无穷多的 165

守恒律 165

7.6　Marchenko反散射方程 168

第8章　含修正项的变形的非线性Schr？dinger方程 173

的微扰解法 173

8.1 含修正项的MNLS方程的微扰方法 173

8.2 以反散射方法为基础的微扰处理 176

8.3　束缚态解时谱参数λ随时间的演化 179

8.4　束缚态解时b（t，λ）随时间的演化 182

附录A 线代数的某些知识 188

附录B 萨磨和矢岛关于NLS方程的初值问题 191