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目 录 1

绪论 1

科学计算过程 1

近似数与误差 1

1．误差的来源（2） 2．误差的大小与近似数的精度 3

3．近似数的四则运算（5） 4．数字计算机的字长与固有误差 6

习题 8

第一章插值与逼近 9

引言 9

1·1 Lagrange插值 10

1．线性插值（10） 2．抛物线插值（12） 3．Lagrange插值 13

4．插值多项式的余项一误差估计（14） 习题1·1 16

1·2 Newton插值 17

1．差商概念（17） 2．差商的性质（18） 3．Newton插值公式 19

习题1·2 21

1·3等距节点插值 22

1．差分概念（22） 2．Newton前插公式（24）3．Newton后 27

插公式（26） 习题1·3 27

1·4 样条插值 27

序设计要点（30） 习题1·4 32

1．三次样条插值（27） 2．公式推导（28） 3．计算步骤与程 32

1·5最小二乘曲线拟合 33

1．回归直线（33） 2．回归多项式曲线（34） 3．经验曲线 36

4．最小二乘曲线拟合的一般理论（38） 习题1·5 41

1·6 正交多项式与均方逼近 41

1．正交多项式概念（41） 2．均方逼近（45） 习题1·6 47

1·7 通用程序设计 48

1．一元三点分段插值通用程序（48）2．一元两点分段插值通用程序 50

3．一元n点全区间插值（50）4．回归直线与经验曲线 51

引 言 52

第二章数值积分 52

2·1 Newton—Cotes求积公式 53

1．Newton—Cotes求积的一般公式（53） 2．常用求积公式 54

3．复合求积公式（56） 习题2·1 57

2·2变步长求积算法 58

1．变步长梯形公式（58） 2．变步长Simpson公式 59

3．Romberg算法（60） 习题2·2 63

2·3 Gauss求积公式 63

1．区间〔-1,1〕上两点Gauss公式（63） 2．Gauss求积的一般理 69

论（64）3．区间〔a,b〕上的Gauss求积算法（67）习题2·3 69

2·4 二重积分及广义积分的数值方法 69

1．矩形区域上的二重积分（69） 2．奇异积分的计算 70

3．无穷积分的计算（72） 习题2·4 74

2·5通用程序设计 75

1．定步长Simpson求积（75） 2．变步长求积——Romberg算法 75

3．自适步长Gauss求积（76） 4．变限多重积分的Gauss求积 79

第三章线性代数方程组的数值解法 84

引 言 84

3·1 消去法 85

元消去法（90） 4．Gauss—Jordan消去法（91）习题3·1 92

3·2矩阵的三角分解 92

1．Gauss消去法（85）2．Gauss列主元消去法（88）3．Gauss全主 92

1．Gauss消去法与系数矩阵的三角分解（93） 2．LU分解的条件 95

3．LU分解的算法（96） 4．LDV分解（97） 习题3·2 99

3·3 基于矩阵分解的特殊方程组解法 99

1．实对称方程组的Cholesky方法（99）2．实对称正定方程组的平 103

方根法（101） 3．三对角方程组的追赶法（102） 习题3·3 103

3·4 消去法的误差分析 103

1．向量范数（103） 2．方阵范数（105） 3．消去法的误差分析 112

——摄动理论（107） 4．实用的办法（111） 习题3·4 112

3·5 线性迭代法 112

矩阵表示（115） 4．松弛法（116） 习题3·5 117

1．Jacobi迭代法（112） 2．Seidel迭代法（114） 3．迭代法的 117

3·6 迭代法的收敛性 118

1．基本收敛定理（118） 2．系数矩阵的可约性与对角占优 120

3．迭代法收敛性判定法（121） 习题3·6 121

3·7非线性迭代法 122

1．线性方程组求解的等价问题（122） 2．最速下降法 123

习题3·7 125

3·8通用程序设计 125

1．Gauss--Jordan列主元消去法（125） 2矩阵求逆与行列式求值 127

法 128

3．实对称方程组的Cholesky方法（128） 4．大型稀疏方程组的解 128

第四章非线性方程和方程组的数值解法 132

引 言 132

4·1 根的分离 132

1．简单的方法——画图与试探（132） 2．代数方程根模的上下界 133

3．实系数代数方程实根的分离方法（136） 习题4·1 137

4·2实根的加细方法 138

1．平分法（138） 2．Newton迭代法（139）3．线性插值法 141

习题4·2 141

4·3 求高次代数方程全部根的劈因子法 142

1．Bairstow方法的推导（142） 2．程序设计要点与框图 144

4·4 非线性方程组的数值解法 145

习题4·3 145

1．Newton迭代法（145） 2．最速下降法（148）3．Newton迭 152

代法与最速下降法的联合使用（151） 习题4·4 152

4·5通用程序设计 152

1．用平分法求区间〔a、b〕内全部单重实根（152） 2．求代数方程全 153

部根（152）3．求解非线性方程组 153

第五章代数特征值问题的数值方法 158

引言与予备知识 158

5·1 实对称矩阵的Jacobi方法 159

5·2 化实对称矩阵为相似的三对角对称矩阵 165

1．旋转矩阵（159） 2．Jacobi方法（162）3．Jacobi方法的计 165

算步骤与程序设计要点（164） 习题5·1 165

1．反射变换（165） 2．用反射变换化对称阵为相似的三对角对称阵 167

3．算法的简化（170） 习题5·2 171

5·3三对角对称矩阵的特征值 172

1．序列｛Pi（λ）｝的Sturm性质（173） 2．Pn（λ）根的隔离 175

3．特征值计算（176） 习题5·3 177

5·4 实对称矩阵特征值问题的Householder方法 177

1．三对角对称阵特征向量的求法（178）2．对称阵A的特征向量算法 180

3．Householder方法的推广（183） 习题5·4 184

5·5 乘幂法与压缩法 185

1．乘幂法（185） 2．乘幂法的困难（187） 3．加速收敛 189

4．压缩法（190） 习题5·5 191

5·6 通用程序设计——Householder方法 191

第六章常微分方程数值解法 196

引 言 196

6·1 离散化方法 197

1．数值微分法（197） 2．数值积分法（198）3．Taylor展开法 199

4．几个基本概念（200） 习题6·1 201

6·2 Euler方法的改进 201

1．改进Euler法——梯形法则（202） 2．予测校正法 202

6·3 Runge—Kutta法 205

3．一次校正法（204） 习题6·2 205

1．一次予测校正算法的精度（205） 2．二阶Runge—Kutta法 206

3．三阶Runge—Kutta法（207） 4．四阶Runge—Kutta公式 208

习题6·3 209

6·4 线性多步法 209

1．Adams外推法（210） 2．Adams内插法（212） 3．Adams 214

外推法与内插法的联合使用（213） 习题6·4 214

6·5收敛性与稳定性问题 214

1．常微分方程组初值问题来源及一般形式 221

6·6 常微分方程组初值问题的数值解法 221

算精度的方法（220） 习题6·5 221

收敛性（217） 3．初值问题的稳定性（218） 4．实际保证计 221

1．单步法的收敛性问题（215） 2．标准四阶Runge—Kutta方法的 221

2．数值解法——标准四阶Runge—Kutta法（224）习题6·6 226

6·7 常微分方程边值问题的差分方法 226

1．差分方程的建立（227） 2．极值原理（227） 3．收敛性与误 229

差估计（228） 4．解差分方程组的追赶法 229

习题6·7 231

6·8通用程序设计 232

1．定步长Runge—Kutta方法 232

2．定步长Adams予测校正法（234）习题6·8 237

第七章偏微分方程的数值解法 238

引 言 238

7·1 椭圆型方程的差分方法 238

1．正方网格的差分格式（239） 2．极值原理和差分方程的可解 246

性（242） 3．差分方程的收敛性与误差估计（243）习题7·1 246

7·2 椭圆型差分方程的解法 246

1．典型问题的差分方程（246） 2．边界条件的处理 251

习题7·2 254

7·3 抛物型方程的差分解法 255

1．显式差分格式Ⅰ（256） 2．隐式差分格式Ⅱ 257

7·4 抛物型差分方程的稳定性与收敛性 259

3．六点对称差分格式Ⅲ（258） 习题7·3 259

1．显式格式的稳定性（260） 2．显式格式的收敛性 261

3．隐式格式的稳定性与收敛性（263） 习题7·4 264

7·5 双曲型方程的差分解法 264

1．微分方程的差分近似（265）2．初始条件与边界条件的处理 265

3．差分格式的收敛性（267） 4．差分格式的稳定性 267

习题7·5 268

7·6 抛物型方程差分解法的通用程序设计 268

1．显式格式Ⅰ的通用程序（269） 2．隐式格式Ⅱ的通用程序 269

3．六点格式Ⅲ的通用程序 269

8·1 解常微分方程的有限元方法 272

第八章解微分方程的有限元方法 272

引 言 272

1．等价问题（272） 2．单元分析（275） 3．总体合成与最终求 281

解（279） 习题8·1 281

8·2 解椭圆型方程的有限元方法 282

1．平面区域的三角剖析（282）2．三角单元上的线性插值函数 283

3．单元分析（284） 4．总体合成与最终求解 286

习题8·2 288

8·3 通用程序设计——解Laplace方程的有限元方法 289

1．功能（289） 2．算法（289） 3．Algol过程 290

4．实例 292