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目录 1

第一篇 基础实验 1

实验一 一元函数及其图形 1

1.1 函数及其图形 1

1.2 函数性质的研究 4

1.3 关于函数图形的进一步研究 5

实验二 极限 8

2.1 数列的极限 8

2.2 函数的极限 13

2.3 函数极限与数列极限的关系 15

2.4 收敛速度与无穷小的阶 17

附 实验6～实验10 Mathematica程序 19

实验三 函数的连续与间断 20

3.1 一元函数连续的概念 20

3.2 不同类型间断点的图形特征 21

3.3 二分法求根 22

实验四 一元函数微分学 24

4.1 导数的几何意义 24

4.2 微分中值定理与函数性态的研究 27

4.3 泰勒公式与函数逼近 29

4.4 导数的应用 32

5.1 定积分的概念 34

实验五 一元函数积分学 34

5.2 定积分近似计算的梯形法 38

5.3 定积分的应用 39

附 Mathematica程序 40

实验六 空间曲线与曲面的绘制 42

6.1 空间曲线的绘制 42

6.2 空间曲面的绘制 43

6.3 空间图形的叠加 45

6.4 常见二次曲面的参数方程 47

7.1 二元函数的可视化 49

实验七 多元函数微分学 49

7.2 二元函数的梯度 50

7.3 多元函数 53

7.4 曲面的切平面与法线 54

7.5 多元函数的极值 55

实验八 多元函数积分学 60

8.1 二重积分的概念 60

8.2 空间图形分析与投影区域的确定 61

8.3 默比乌斯带 65

附 实验9的Mathematica程序 66

9.1 级数部分和的变化趋势 67

实验九 无穷级数与函数逼近 67

9.2 级数的判敛 68

9.3 函数的幂级数展开 70

9.4 傅里叶（Fourier）级数 71

实验十 常微分方程 75

10.1 常微分方程的精确解 75

10.2 一阶微分方程在几何中的应用 77

10.3 微分方程的数值解 79

10.4 微分方程组的解 81

实验十一 线性方程组 86

12.1 几何变换 90

实验十二 几何变换与特征向量 90

12.2 特征向量 92

附 实验1的Mathematica程序 94

实验十三 复变函数 96

13.1 复变函数 96

13.2 复变函数的极限与连续性 97

实验十四 级数 100

14.1 复数项级数 100

14.2 几何级数 101

14.3 幂级数 103

14.4 泰勒级数 104

14.5 洛朗级数 106

实验十五 孤立奇点 109

实验十六 共形映射 114

16.1 共形映射的基本性质 114

16.2 分式线性映射 115

16.3 几个初等函数所构成的映射 116

实验十七 概率论的基本概念 118

17.1 频率与概率 118

17.2 古典概型 119

17.3 几何概型 122

17.4 独立性 126

实验十八 随机变量及其分布 129

18.1 离散型随机变量及其概率分布 129

18.2 连续型随机变量及其概率密度函数 132

18.3 随机变量函数的分布 134

实验十九 数字特征 135

19.1 数学期望 135

19.2 方差 138

19.3 协方差与相关系数 139

实验二十 大数定律和中心极限定理 141

20.1 大数定律 141

20.2 中心极限定理 143

21.1 F分布 147

实验二十一 数理统计的基本概念 147

21.2 统计量及抽样分布 148

实验二十二 统计推断 153

22.1 点估计 153

22.2 区间估计 155

22.3 假设检验 158

附 Mathematica程序 160

实验二十三 数列与级数 163

23.1 斐波那契（Fibonacci）数列 163

第二篇 研究实验 163

23.2 调和级数 165

23.3 自然对数的底e 167

23.4 欧拉（Euler）常数γ 171

23.5 值得进一步研究的问题 173

附 Mathematica程序 174

实验二十四 非线性方程近似解 177

24.1 根的隔离与二分法 177

24.2 迭代法 179

24.3 牛顿迭代法 183

24.4 计算重根的牛顿迭代法 187

24.5 值得进一步研究的问题 192

实验二十五 线性方程组的数值解法 194

25.1 直接法 194

25.2 矩阵的LU分解 199

25.3 方程组的性态和条件数 201

25.4 迭代法 204

25.5 值得进一步研究的问题 210

实验二十六 数值积分与数值微分 213

26.1 数值积分法 213

26.2 梯形求积公式 215

26.3 辛普森（Simpson）公式 216

26.4 高斯（Gauss）求积公式 217

26.5 蒙特卡罗方法 222

26.6 重积分的计算 223

26.7 数值微分 224

26.8 值得进一步研究的问题 228

实验二十七 常微分方程的数值解 230

27.1 欧拉方法 230

27.2 龙格-库塔公式 235

27.3 收敛性和稳定性 240

27.4 值得进一步研究的问题 244

28.1 乘幂法 246

实验二十八 矩阵特征值问题的数值解法 246

28.2 计算实对称矩阵特征值的雅可比法 248

28.3 值得进一步研究的问题 253

实验二十九 回归分析 254

29.1 一元线性回归 254

29.2 多元线性回归 263

29.3 值得进一步研究的问题 269

实验三十 π的近似计算 270

30.1 利用多边形的面积求π 270

30.2 用迭代法求π 271

30.4 级数法求π 273

30.3 数值积分法求π 273

30.5 蒙特卡罗（Monte Carlo）法 277

30.6 值得进一步研究的问题 278

附 Mathematica程序 279

实验三十一 线性变换及其迭代 282

31.1 线性变换与仿射变换 282

31.2 线性变换的特征向量 285

31.3 线性变换的迭代 286

附 Mathematica程序 288

32.1 生成元 290

实验三十二 迭代与分形 290

32.2 Julia集与Mandelbrot集 292

32.3 迭代函数系统 294

附 Mathematica程序 298

实验三十三 函数迭代与混沌 302

33.1 基本理论 302

33.2 函数的迭代 302

33.3 Feigenbaum图 306

33.4 混沌的特性 307

33.5 其它函数的迭代 309

33.6 二维迭代与分形 310

附 Mathematica程序 311

附录 Mathematica软件简介 315

附.1 Mathematica的启动与退出 315

附.2 数、表达式、函数和变量 318

附.3 代数式与代数运算 322

附.4 Mathematica的图形功能 324

附.5 Mathematica在微积分中的应用 331

附.6 Mathematica在线性代数中的应用 332

附.7 Mathematica在概率论与数理统计中的应用 333

附.8 Mathematica在数值计算方法中的应用 334

附.9 Mathematica的程序结构与设计 335