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第一章　函数的极限 1

第一节　数列极限 1

1.1.1　数与绝对值 1

1.1.2　数列极限的定义 3

1.1.3　数列极限的性质 7

1.1.4　单调有界数列，数e 15

1.1.5　波尔察诺—维尔斯特拉斯定理 18

1.1.6　柯西收敛准则 21

1.1.7　数集的上确界与下确界 24

第二节　函数极限 26

1.2.1　函数在一点的极限 26

1.2.2　函数在一点的单侧极限 30

1.2.3　函数在无限大处的极限 31

1.2.4　函数极限与数列极限的关系 33

1.2.5　函数极限的性质 36

1.2.6　两个重要的函数极限 39

1.2.7　函数极限存在的判别 44

1.2.8　无穷小量及其比较 47

1.2.9　无穷大量及其比较 50

第三节　函数的连续性 53

1.3.1　函数连续性的概念 53

1.3.2　连续函数的简单性质 58

1.3.3　初等函数的连续性 61

1.3.4　双曲函数 64

1.3.5　闭区间上连续函数的性质 66

第一节　函数的微商 73

2.1.1　微商的概念 73

第二章　单变量函数的微分学 73

2.1.2　简单函数的微商 77

2.1.3　微商的运算法则 79

2.1.4　反函数的微商 83

2.1.5　复合函数的微商 84

2.1.6　参数方程所表示的函数的微商 87

2.1.7　微商公式表，例 89

第二节　函数的微分 95

2.2.1　微分的概念 95

2.2.2　微分的运算 98

2.2.3　函数值的近似计算 99

2.2.4　误差的估计 101

第三节　高阶微商与高阶微分 104

2.3.1　高阶微商 104

2.3.2　莱布尼兹公式 106

2.3.3　高阶微分 110

第四节　微分学的基本定理 112

2.4.1　费马定理与罗尔定理 112

2.4.2　中值定理 115

第五节　泰勒公式 120

2.5.1　泰勒公式 120

2.5.2　几个初等函数的泰勒展开式 125

2.5.3　泰勒公式在近似计算中的应用 128

第六节　未定式的极限 131

2.6.1　？型未定式 131

2.6.2　？型未定式 134

2.6.3　其它未定式 135

2.6.4　由泰勒公式求极限 138

2.7.1　函数增减性的判别 140

第七节　函数的增减性与极值 140

2.7.2　函数的极值 143

第八节　函数图形的描绘 151

2.8.1　曲线的凹凸性与扭转点 152

2.8.2　曲线的渐近线 155

2.8.3　作图的分析法，例 158

第九节　平面曲线的曲率 162

2.9.1　曲率的概念 162

2.9.2　曲率的计算 164

2.9.3　曲率圆 166

第三章　单变量函数的积分学 167

第一节　不定积分 167

3.1.1　原函数与不定积分的概念 167

3.1.2　基本积分公式表 170

3.1.3　换元积分法 173

3.1.4　分部积分法 177

3.1.5　有理函数的积分 181

3.1.6　含有简单根式的积分 189

3.1.7　二项式积分 191

3.1.8　R（x,？）型函数的积分 193

3.1.9　三角函数有理式的积分 197

第二节　定积分的概念与可积函数 200

3.2.1　定积分概念的引入 201

3.2.2　定积分的定义 205

3.2.3　达布上和与下和 207

3.2.4　可积函数类 212

第三节　定积分的性质及其计算 214

3.3.1　定积分的基本性质 215

3.3.2　积分学的基本定理 220

3.3.3　定积分的换元法 225

3.3.4　定积分的分部积分法 228

第四节　定积分的近似计算 231

3.4.1　梯形法 231

3.4.2　抛物线法 233

3.4.3　机械求积公式 236

第五节　定积分的应用 239

3.5.1　平面图形的面积 239

3.5.2　平面曲线的弧长 243

3.5.3　利用横截面计算体积 248

3.5.4　旋转体的侧面积 250

3.5.5　函数的平均值 253

3.5.6　变力作功 254

3.5.7　微元分析法 256

第六节　广义积分 259

3.6.1　无穷区间上的积分 259

3.6.2　无界函数的积分 262

第四章　可积微分方程 265

第一节　微分方程的基本概念 265

第二节　一阶微分方程 268

4.2.1　可分离变量的方程 268

4.2.2　齐次方程 273

4.2.3　线性方程 282

4.2.4　黎卡提方程 287

第三节　可降阶的二阶微分方程 288

4.3.1　不显含未知函数的二阶方程 289

4.3.2　不显含自变量的二阶方程 292