计算复杂性 现代方法PDF电子书下载

第0章 记号约定 1

0.1 对象的字符串表示 1

O.2 判定问题／语言 2

0.3 大O记号 2

习题 3

第一部分 基本复杂性类 6

第1章 计算模型——为什么模型选择无关紧要 6

1.1 计算的建模：你真正需要了解的内容 6

1.2 图灵机 7

1.2.1 图灵机的表达能力 10

1.3 效率和运行时间 11

1.3.1 定义的健壮性 11

1.4 机器的位串表示和通用图灵机 14

1.4.1 通用图灵机 14

1.5 不可计算性简介 15

1.5.1 停机问题 16

1.5.2 哥德尔定理 17

1.6 类P 18

1.6.1 为什么模型选择无关紧要 19

1.6.2 P的哲学意义 19

1.6.3 P的争议和解决争议的一些努力 20

1.6.4 埃德蒙兹的引言 21

1.7 定理1.9 的证明：O（TlogT）时间的通用模拟 21

本章学习内容 24

本章注记和历史 24

习题 26

第2章 NP和NP完全性 29

2.1 类NP 29

2.1.1 P和NP的关系 31

2.1.2 非确定型图灵机 31

2.2 归约和NP完全性 32

2.3 库克－勒维定理：计算的局部性 34

2.3.1 布尔公式、合取范式和SAT问题 34

2.3.2 库克－勒维定理 34

2.3.3 准备工作：布尔公式的表达能力 35

2.3.4 引理2.1 1的证明 35

2.3.5 将SAT归约到3SAT 38

2.3.6 深入理解库克－勒维定理 38

2.4 归约网络 39

2.5 判定与搜索 42

2.6 coNP、EXP和NEXP 43

2.6.1 coNP 43

2.6.2 EXP和NEXP 44

2.7 深入理解P、NP及其他复杂性类 45

2.7.1 NP的哲学意义 45

2.7.2 NP与数学证明 45

2.7.3 如果P=NP会怎样 45

2.7.4 如果NP=coNP会怎样 46

2.7.5 NP和NP完全之间存在其他复杂性类吗 47

2.7.6 NP难的处理 47

2.7.7 更精细的时间复杂性 48

本章学习内容 48

本章注记和历史 48

习题 49

第3章 对角线方法 53

3.1 时间分层定理 53

3.2 非确定型时间分层定理 54

3.3 拉德纳尔定理：NP非完全问题的存在性 55

3.4 神喻机器和对角线方法的局限性 57

3.4.1 逻辑独立与相对 59

本章学习内容 59

本章注记和历史 59

习题 60

第4章 空间复杂性 61

4.1 空间受限计算的定义 61

4.1.1 格局图 62

4.1.2 一些空间复杂性类 63

4.1.3 空间分层定理 64

4.2 PSPACE完全性 64

4.2.1 塞维奇定理 67

4.2.2 PSPACE的本质：最佳博弈策略 67

4.3 NL完全性 68

4.3.1 基于证明的NL定义：仅能读一次的证明 70

4.3.2 NL=coNL 71

本章学习内容 72

本章注记和历史 73

习题 73

第5章 多项式分层和交错 75

5.1 类∑p2 75

5.2 多项式分层 76

5.2.1 多项式分层的性质 76

5.2.2 PH各层的完全问题 77

5.3 交错图灵机 78

5.3.1 无限次交错 79

5.4 时间与交错：SAT的时空平衡 79

5.5 用神喻图灵机定义多项式分层 80

本章学习内容 81

本章注记和历史 81

习题 82

第6章 布尔线路 83

6.1 布尔线路和P/poly 83

6.1.1 P/poly和P之间的关系 85

6.1.2 线路的可满足性和库克－勒维定理的另一种证明 86

6.2 一致线路 87

6.2.1 对数空间一致线路族 87

6.3 纳言图灵机 88

6.4 P/poly和NP 88

6.5 线路下界 89

6.6 非一致分层定理 90

6.7 线路复杂性类的精细分层 91

6.7.1 类NC和类AC 92

6.7.2 P完全性 92

6.8 指数规模的线路 93

本章学习内容 93

本章注记和历史 94

习题 94

第7章 随机计算 96

7.1 概率型图灵机 97

7.2 概率型图灵机示例 98

7.2.1 寻找中位数 99

7.2.2 概率型素性测试 100

7.2.3 多项式恒等测试 101

7.2.4 二分图的完美匹配测试 102

7.3 单面错误和“零面”错误：RP、coRP、ZPP 103

7.4 定义的健壮性 103

7.4.1 准确度常数的作用：错率归约 104

7.4.2 期望运行时间与最坏运行时间 105

7.4.3 使用比均匀硬币投掷更具一般性的随机选择 106

7.5 BPP同其他复杂性类之间的关系 106

7.5.1 BPP？P/poly 107

7.5.2 BPP？PH 107

7.5.3 分层定理与完全问题 108

7.6 随机归约 109

7.7 空间受限的随机计算 109

本章学习内容 110

本章注记和历史 110

习题 111

第8章 交互式证明 113

8.1 交互式证明及其变形 113

8.1.1 准备工作：验证者和证明者均为确定型的交互式证明 113

8.1.2 类IP：概率型验证者 115

8.1.3 图不同构的交互式证明 116

8.2 公用随机源和类AM 118

8.2.1 私有随机源的模拟 119

8.2.2 集合下界协议 120

8.2.3 定理8.1 2的证明概要 123

8.2.4 GI能是NP－完全的吗 123

8.3 IP=PSPACE 124

8.3.1 算术化 125

8.3.2 ＃SATD的交互式协议 125

8.3.3 TQBF的协议：定理8.19的证明 127

8.4 证明者的能力 128

8.5 多证明者交互式证明 129

8.6 程序检验 130

8.6.1 具有验证程序的语言 131

8.6.2 随机自归约与积和式 131

8.7 积和式的交互式证明 132

8.7.1 协议 133

本章学习内容 134

本章注记和历史 134

习题 135

第9章 密码学 137

9.1 完全保密及其局限性 138

9.2 计算安全、单向函数和伪随机数产生器 139

9.2.1 单向函数：定义和实例 141

9.2.2 用单向函数实现加密 142

9.2.3 伪随机数产生器 143

9.3 用单向置换构造伪随机数产生器 144

9.3.1 不可预测性蕴含伪随机性 144

9.3.2 引理9.10的证明：戈德赖希－勒维定理 145

9.4 零知识 149

9.5 应用 151

9.5.1 伪随机函数及其应用 151

9.5.2 去随机化 153

9.5.3 电话投币和比特承诺 154

9.5.4 安全的多方计算 154

9.5.5 机器学习的下界 155

本章学习内容 155

本章注记和历史 155

习题 158

第10章 量子计算 161

10.1 量子怪相：双缝实验 162

10.2 量子叠加和量子位 163

10.2.1 EPR悖论 165

10.3 量子计算的定义和BQP 168

10.3.1 线性代数预备知识 168

10.3.2 量子寄存器及其状态向量 168

10.3.3 量子操作 169

10.3.4 量子操作实例 169

10.3.5 量子计算与BQP 171

10.3.6 量子线路 172

10.3.7 传统计算是量子计算的特例 173

10.3.8 通用操作 173

10.4 格罗弗搜索算法 174

10.5 西蒙算法 177

10.5.1 定理10.14的证明 177

10.6 肖尔算法：用量子计算机实现整数分解 178

10.6.1 ZM上的傅里叶变换 179

10.6.2 ZM上的量子傅里叶变换 180

10.6.3 肖尔的阶发现算法 181

10.6.4 因数分解归约为阶发现 184

10.6.5 实数的有理数近似 185

10.7 BQP和经典复杂性类 186

10.7.1 量子计算中类似于NP和AM的复杂性类 187

本章学习内容 187

本章注记和历史 188

习题 190

第11章 PCP定理和近似难度简介 192

11.1 动机：近似求解NP难的优化问题 193

11.2 用两种观点理解PCP定理 194

11.2.1 PCP定理与局部可验证明 194

11.2.2 PCP定理与近似难度 197

11.3 两种观点的等价性 197

11.3.1 定理11.5与定理11.9的等价性 198

11.3.2 重新审视PCP的两种理解 199

11.4 顶点覆盖问题和独立集问题的近似难度 200

11.5 NP？PCP（poly（n），1）：由沃尔什－哈达玛编码得到的PCP 202

11.5.1 线性测试与沃尔什－哈达玛编码 202

11.5.2 定理11.19的证明 203

本章学习内容 206

本章注记和历史 206

习题 207

第二部分 具体计算模型的下界 210

第12章 判定树 210

12.1 判定树和判定树复杂性 210

12.2 证明复杂性 212

12.3 随机判定树 213

12.4 证明判定树下界的一些技术 214

12.4.1 随机复杂性的下界 214

12.4.2 敏感性 215

12.4.3 次数方法 216

本章学习内容 217

本章注记和历史 217

习题 218

第13章 通信复杂性 219

13.1 双方通信复杂性的定义 219

13.2 下界方法 220

13.2.1 诈集方法 220

13.2.2 铺砌方法 221

13.2.3 秩方法 222

13.2.4 差异方法 223

13.2.5 证明差异上界的一种技术 223

13.2.6 各种下界方法的比较 224

13.3 多方通信复杂性 225

13.4 其他通信复杂性模型概述 227

本章学习内容 228

本章注记和历史 228

习题 229

第14章 线路下界：复杂性理论的滑铁卢 232

14.1 AC0和哈斯塔德开关引理 232

14.1.1 哈斯塔德开关引理 233

14.1.2 开关引理的证明 234

14.2 带“计数器”的线路：ACC 236

14.3 单调线路的下界 239

14.3.1 定理14.7的证明 239

14.4 线路复杂性的前沿 242

14.4.1 用对角线方法证明线路下界 242

14.4.2 ACC Vs P的研究现状 243

14.4.3 具有对数深度的线性线路 244

14.4.4 线路图 244

14.5 通信复杂性方法 245

14.5.1 与ACC0线路之间的联系 245

14.5.2 与线性规模对数深度的线路之间的联系 246

14.5.3 与线路图之间的联系 246

14.5.4 卡奇梅尔－维格德尔森通信游戏与深度下界 246

本章学习内容 248

本章注记和历史 249

习题 249

第15章 证明复杂性 251

15.1 几个例子 251

15.2 命题演算与归结 252

15.2.1 用瓶颈法证明下界 253

15.2.2 插值定理和归结的指数下界 254

15.3 其他证明系统概述 256

15.4 元数学的思考 258

本章学习内容 258

本章注记和历史 258

习题 259

第16章 代数计算模型 260

16.1 代数直线程序和代数线路 261

16.1.1 代数直线程序 261

16.1.2 例子 262

16.1.3 代数线路 263

16.1.4 代数线路中类似于P、NP的复杂性类 264

16.2 代数计算树 266

16.2.1 下界的拓扑方法 268

16.3 布卢姆－舒布－斯梅尔模型 270

16.3.1 复数上的复杂性类 271

16.3.2 完全问题和希尔伯特零点定理 271

16.3.3 判定性问题——曼德勃罗集 272

本章学习内容 272

本章注记和历史 273

习题 274

第三部分 高级专题 278

第17章 计数复杂性 278

17.1 计数问题举例 278

17.1.1 计数问题与概率估计 279

17.1.2 计数可能难于判定 279

17.2 复杂性类＃P 280

17.2.1 复杂性类PP：类似于＃P的判定问题 281

17.3 ＃P完全性 281

17.3.1 积和式和瓦利安特定理 282

17.3.2 ＃P问题的近似解 286

17.4 户田定理：PH？P＃SAT 287

17.4.1 过渡：具有唯一解的布尔满足性问题 288

17.4.2 ？的性质和对NP、coNP证明引理17.17 289

17.4.3 引理17.1 7的证明：一般情形 290

17.4.4 第二步：转换为确定型归约 291

17.5 待决问题 292

本章学习内容 293

本章注记和历史 293

习题 293

第18章 平均复杂性：勒维定理 295

18.1 分布问题与distP 296

18.2 “实际分布”的形式化定义 298

18.3 distNP及其完全问题 298

18.3.1 distNP的一个完全问题 300

18.3.2 P－可抽样的分布 301

18.4 哲学意义和实践意义 301

本章学习内容 303

本章注记和历史 303

习题 303

第19章 难度放大和纠错码 305

19.1 从温和难度到强难度：姚期智XOR引理 306

19.1.1 用因帕利亚佐难度核引理证明姚期智XOR引理 307

19.1.2 因帕利亚佐难度核引理的证明 309

19.2 工具：纠错码 310

19.2.1 显式纠错码 312

19.2.2 沃尔什－哈达玛纠错码 312

19.2.3 里德－所罗门纠错码 313

19.2.4 里德－穆勒纠错码 313

19.2.5 拼接纠错码 314

19.3 高效解码 315

19.3.1 里德－所罗门解码 315

19.3.2 拼接解码 316

19.4 局部解码与难度放大 316

19.4.1 沃尔什－哈达玛纠错码的局部解码算法 318

19.4.2 里德－穆勒纠错码的局部解码算法 318

19.4.3 拼接纠错码的局部解码算法 319

19.4.4 局部解码算法综合运用于难度放大 320

19.5 列表解码 321

19.5.1 里德－所罗门纠错码的列表解码 322

19.6 局部列表解码：接近BPP=P 323

19.6.1 沃尔什－哈达玛纠错码的局部列表解码 323

19.6.2 里德－穆勒纠错码的局部列表解码 323

19.6.3 拼接纠错码的局部列表解码 325

19.6.4 局部列表解码算法综合运用于难度放大 325

本章学习内容 326

本章注记和历史 327

习题 328

第20章 去随机化 330

20.1 伪随机数产生器和去随机化 331

20.1.1 用伪随机数产生器实现去随机化 331

20.1.2 难度与去随机化 333

20.2 定理20.6 的证明：尼散－维格德尔森构造 334

20.2.1 两个示意性例子 334

20.2.2 尼散－维格德尔森构造 336

20.3 一致假设下的去随机化 339

20.4 去随机化需要线路下界 340

本章学习内容 343

本章注记和历史 343

习题 344

第21章 伪随机构造：扩张图和提取器 345

21.1 随机游走和特征值 346

21.1.1 分布向量和参数λ（G） 346

21.1.2 无向连通性问题的随机算法的分析 349

21.2 扩张图 349

21.2.1 代数定义 350

21.2.2 组合扩张和扩张图的存在性 350

21.2.3 代数扩张图蕴含组合扩张图 351

21.2.4 组合扩张图蕴含代数扩张图 352

21.2.5 用扩张图设计纠错码 353

21.3 扩张图的显式构造 355

21.3.1 旋转映射 356

21.3.2 矩阵乘积和路径乘积 356

21.3.3 张量积 356

21.3.4 替换乘积 357

21.3.5 显式构造 359

21.4 无向连通性问题的确定型对数空间算法 361

21.4.1 连通性问题的对数空间算法（定理21.21的证明） 361

21.5 弱随机源和提取器 362

21.5.1 最小熵 363

21.5.2 统计距离 364

21.5.3 随机性提取器的定义 364

21.5.4 提取器的存在性证明 364

21.5.5 基于哈希函数构造提取器 365

21.5.6 基于扩张图的随机游走构造提取器 366

21.5.7 由伪随机数产生器构造提取器 366

21.6 空间受限计算的伪随机数产生器 368

本章学习内容 372

本章注记和历史 372

习题 374

第22章 PCP定理的证明和傅里叶变换技术 378

22.1 非二进制字母表上的约束满足问题 378

22.2 PCP定理的证明 379

22.2.1 PCP定理的证明思路 379

22.2.2 迪纳尔鸿沟放大：引理22.5 的证明 380

22.2.3 扩张图、随机游走和INDSET的近似难度 381

22.2.4 迪纳尔鸿沟放大 382

22.2.5 字母表削减：引理22.6 的证明 387

22.3 2CSPw的难度：鸿沟和字母表大小之间的平衡 389

22.3.1 莱斯的证明思想：并行重复 389

22.4 哈斯塔德3位PCP定理和MAX-3SAT的难度 390

22.4.1 MAX-3SAT的近似难度 390

22.5 工具：傅里叶变换 391

22.5.1 GF（2）n上的傅里叶变换 391

22.5.2 从较高层面看傅里叶变换和PCP之间的联系 393

22.5.3 GF（2）上线性测试的分析 393

22.6 坐标函数、长编码及其测试 395

22.7 定理22.1 6的证明 396

22.8 SET-COVER的近似难度 400

22.9 其他PCP定理概述 402

22.9.1 具有亚常数可靠性参数的PCP定理 402

22.9.2 平摊的查验复杂度 402

22.9.3 2位测试和高效傅里叶分析 403

22.9.4 唯一性游戏和阈值结果 404

22.9.5 与等周问题和度量空间嵌入之间的联系 404

22.A 将qCSP实例转换成“精细”实例 405

本章学习内容 406

本章注记和历史 407

习题 408

第23章 为什么线路下界如此困难 411

23.1 自然证明的定义 411

23.2 为什么自然证明是自然的 412

23.2.1 为什么要求可构造性 413

23.2.2 为什么要求广泛性 413

23.2.3 用复杂性测度看自然证明 414

23.3 定理23.1的证明 415

23.4 一个“不自然的”下界 416

23.5 哲学观点 417

本章注记和历史 417

习题 418

附录A数学基础 419

部分习题的提示 438

参考文献 447

术语索引 472

复杂性类索引 478