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第1章 实数和数列极限 1

1.1 数轴 1

1.2 无尽小数 5

1.3 数列和收敛数列 8

1.4 收敛数列的性质 13

1.5 数列极限概念的推广 23

1.6 单调数列 25

1.7 自然对数底e 30

1.8 基本列和收敛原理 35

1.9 上确界和下确界 38

1.10 有限覆盖定理 41

1.11 上极限和下极限 43

1.12 Stolz定理 49

1.13 数列极限的应用 52

第2章 函数的连续性 58

2.1 集合的映射 58

2.2 集合的势 62

2.3 函数 66

2.4 函数的极限 71

2.5 极限过程的其他形式 82

2.6 无穷小与无穷大 87

2.7 连续函数 92

2.8 连续函数与极限计算 101

2.9 函数的一致连续性 105

2.10 有限闭区间上连续函数的性质 110

2.11 函数的上极限和下极限 116

2.12 混沌现象 119

第3章 函数的导数 127

3.1 导数的定义 127

3.2 导数的计算 133

3.3 高阶导数 143

3.4 微分学的中值定理 148

3.5 利用导数研究函数 157

3.6 L’Hospital法则 176

3.7 函数作图 182

第4章 一元微分学的顶峰——Taylor定理 188

4.1 函数的微分 188

4.2 带Peano余项的Taylor定理 193

4.3 带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理 202

第5章 插值与逼近初步 212

5.1 Lagrange插值公式 212

5.2 多项式的Bernstein表示 216

5.3 Bernstein多项式 223

第6章 求导的逆运算 228

6.1 原函数的概念 228

6.2 分部积分和换元法 231

6.3 有理函数的原函数 240

6.4 可有理化函数的原函数 246

第7章 函数的积分 252

7.1 积分的概念 252

7.2 可积函数的性质 260

7.3 微积分基本定理 265

7.4 分部积分与换元 270

7.5 可积性理论 279

7.6 Lebesgue定理 284

7.7 反常积分 291

7.8 面积原理 299

7.9 Wallis公式和Stirling公式 308

7.10 数值积分 311

第8章 曲线的表示和逼近 314

8.1 参数曲线 314

8.2 曲线的切向量 318

8.3 光滑曲线的弧长 322

8.4 曲率 327

8.5 Bézier曲线 330

第9章 数项级数 338

9.1 无穷级数的基本性质 339

9.2 正项级数的比较判别法 345

9.3 正项级数的其他判别法 351

9.4 一般级数 362

9.5 绝对收敛和条件收敛 370

9.6 级数的乘法 377

9.7 无穷乘积 381

第10章 函数列与函数项级数 390

10.1 问题的提出 390

10.2 一致收敛 393

10.3 极限函数与和函数的性质 406

10.4 由幂级数确定的函数 415

10.5 函数的幂级数展开式 426

10.6 用多项式一致逼近连续函数 433

10.7 幂级数在组合数学中的应用 437

10.8 从两个著名的例子谈起 445

附录 问题的解答与提示 453