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第一章 绪论 1

1.1 数值分析研究的对象与内容 1

1.2 误差的来源与误差的基本概念 3

1.2.1 误差的来源 3

1.2.2 绝对误差与绝对误差限 4

1.2.3 相对误差与相对误差限 5

1.2.4 有效数字 6

1.3 数值计算中需要注意的问题 9

1.3.1 避免两个相近的数相减 9

1.3.2 防止大数“吃掉”小数 10

1.3.3 注意简化计算步骤，减少运算次数 12

习题一 13

第二章 解非线性方程的数值方法 15

2.1 二分法 16

2.1.1 基本概念和定理 16

2.1.2 算法的基本思想 19

2.1.3 误差估计与收敛性分析 20

2.1.4 算法 21

2.1.5 算法的优缺点 22

2.2 迭代法 23

2.2.1 算法的基本思想 23

2.2.2 迭代法的几何解释 25

2.2.3 收敛定理 26

2.2.4 误差估计 28

2.2.5 算法 29

2.2.6 局部收敛定理 30

2.2.7 迭代收敛的阶 32

2.2.8 迭代加速 34

2.3 Newton法 38

2.3.1 算法介绍 38

2.3.2 Newton法的几何意义 39

2.3.3 算法 39

2.3.4 Newton法的收敛速率 40

2.3.5 重根情况 42

2.3.6 Newton下山法 44

习题二 45

第三章 线性方程组的数值解法 49

3.1 消去法 50

3.1.1 顺序Gauss消去法 50

3.1.2 列主元Gauss消去法 57

3.1.3 Gauss-Jordan消去法 62

3.2 矩阵分解方法 68

3.2.1 LU分解法 68

3.2.2 解三对角方程组的追赶法 76

3.3 对称正定矩阵的Cholesky分解 80

3.3.1 正定矩阵及其性质 80

3.3.2 平方根法 81

3.3.3 改进平方根法 84

3.4 向量与矩阵的范数 87

3.4.1 向量的范数 87

3.4.2 矩阵的范数 90

3.5 方程组的性态，病态方程组的求解 96

3.5.1 关于方程组解的精度 96

3.5.2 矩阵的条件数 96

3.5.3 方程组的性态 97

3.5.4 病态方程组的求解 102

习题三 103

第四章 解线性代数方程组的迭代法 108

4.1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 108

4.1.1 Jacobi迭代法 108

4.1.2 Gauss-Seidel迭代法 112

4.2 迭代法的收敛性 115

4.2.1 迭代收敛定理 115

4.2.2 迭代收敛速度 121

4.2.3 对角占优阵 124

4.3 超松驰（SOR）迭代法 129

4.3.1 超松驰迭代法 129

4.3.2 SOR迭代法的收敛性 132

习题四 134

第五章 插值方法 137

5.1 Lagrange插值 137

5.1.1 Lagrange插值多项式 137

5.1.2 Lagrange插值公式的计算 140

5.1.3 插值余项 145

5.2 Newton插值 150

5.2.1 均差 150

5.2.2 Newton基本插值公式 154

5.2.3 差分 157

5.2.4 等距节点的Newton插值公式 161

5.3 Hermite插值 165

5.3.1 二点二次插值公式 165

5.3.2 二点三次Hermite插值公式 169

5.3.3 Hermite插值公式 173

5.3.4 Newton形式的Hermite插值公式 174

5.4 分段低次插值 178

5.4.1 高次插值多项式的问题 178

5.4.2 分段线性插值 179

5.4.3 分段三次Hermite插值 181

5.5 三次样条插值 184

5.5.1 三次样条插值函数 184

5.5.2 三次样条插值函数的求法 186

5.5.3 三次样条插值的收敛性 199

习题五 200

第六章 函数逼近 205

6.1 正交多项式 205

6.1.1 正交函数系的概念 205

6.1.2 常用的正交多项式 207

6.1.3 正交多项式的构造 211

6.2 函数的最佳平方逼近 213

6.2.1 最佳平方逼近的概念及计算 213

6.2.2 用正交函数做最佳平方逼近 217

6.3 最小二乘法 219

6.3.1 基本概念 220

6.3.2 用代数多项式作拟合函数 223

6.3.3 用正交函数做最小二乘 228

习题六 232

第七章 数值积分 234

7.1 Newton-Cotes求积公式 234

7.1.1 数值求积公式的构造和它的代数精确度 234

7.1.2 梯形求积公式 237

7.1.3 Simpson求积公式 240

7.1.4 Cotes求积公式 242

7.1.5 Newton-Cotes求积公式 243

7.1.6 计算稳定性问题 246

7.2 复化求积公式 247

7.2.1 复化梯形公式 248

7.2.2 复化Simpson公式 249

7.2.3 复化Cotes公式 250

7.3 Romberg求积法 254

7.3.1 变步长的梯形公式 254

7.3.2 Romberg（龙贝格）求积公式 256

7.3.3 Romberg求积法 257

7.3.4 Richardson（理查森）外推加速法 260

7.4 Gauss求积公式 263

7.4.1 Gauss点 264

7.4.2 Gauss-Legendre公式 266

7.4.3 Gauss-Legendre公式的使用 268

7.4.4 Gauss型求积公式的余项及稳定性 270

7.4.5 带权的Gauss公式 271

习题七 273

第八章 常微分方程的数值解 275

8.1 Euler方法 275

8.1.1 Euler方法 275

8.1.2 梯形公式和改进Euler方法 282

8.2 Runge-Kutta方法 287

8.2.1 Runge-Kutta（龙格-库塔）方法的基本思想 287

8.2.2 二阶Runge-Kutta法 288

8.2.3 四阶Runge-Kutta法 290

8.2.4 变步长的Runge-Kutta法 292

8.3 单步法的收敛性和稳定性 293

8.3.1 单步法的收敛性 293

8.3.2 单步法的稳定性 296

8.4 线性多步法 300

8.4.1 线性多步法的一般公式 300

8.4.2 Adams外推公式 303

8.4.3 Adams内插公式 305

8.4.4 预报一校正公式 306

习题八 307