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前言 1

第1章绪论 1

1.1研究计算方法的必要性 1

目录 1

1.2误差的基本概念 3

1.2.1绝对误差 4

1.2.2相对误差 4

1. 2.3有效数字 5

1.3选用和设计算法应注意的问题 8

2.1高斯列主元消去法 12

2.1.1高斯消去法 12

第2章线性方程组的数值解法 12

2.1.2列主元消去法 14

2.2对称正定矩阵的平方根法 17

2.2.1矩阵的三角分解 17

2.2.2对称正定矩阵的平方根法 25

2.3三对角线性方程组的追赶法 31

2.4线性方程组的迭代解法 33

2.4.1雅可比迭代法 34

2.4.2高斯—塞德尔迭代法 36

2.4.3超松弛迭代法 38

2.5向量范数与矩阵范数 41

2.5.1向量范数 42

2.5.2矩阵范数 46

2.6.1方程组的性态 48

2.6方程组的性态和迭代法的收敛性 48

2.6.2迭代法的收敛性 52

本章小结 61

习题 62

第3章方程的近似解法 65

3.1根的搜索与二分法 65

3.1.1根的搜索 65

3.1.2二分法 67

3.2迭代法 70

3.3牛顿法 75

3.4弦截法 81

本章小结 85

习题 86

第4章插值与数据拟合 88

4.1拉格朗日插值 89

4.1.1线性插值 89

4.1.2二次插值 92

4.1.3 n次拉格朗日插值多项式 94

4.2分段插值 96

4.2.1分段线性插值 96

4.2.2分段二次插值 97

4.3差商与牛顿插值公式 98

4.3.1差商 99

4.3.2牛顿插值多项式 100

4.3.3 牛顿插值多项式的余项估计 103

4.4.1差分的概念与差分表 104

4.4差分与等距节点插值公式 104

4.4.2等距节点插值公式 106

4.5三次样条插值 109

4.5.1三次样条函数的定义 109

4.5.2三次样条插值函数的构造 110

4.5.3边界条件 112

4.6曲线拟合的最小二乘法 115

4.6.1问题的引出 115

4.6.2用最小二乘法解矛盾方程组 117

4.6.3用多项式作最小二乘曲线拟合 119

本章小结 125

习题 126

第5章数值积分与数值微分 128

5.1梯形公式、辛甫生公式与柯特斯公式 129

5.1.1梯形公式 129

5.1.2辛甫生公式 132

5.1.3柯特斯公式 134

5.2龙贝格求积公式 138

5.3高斯公式 143

5.4数值微分 148

本章小结 153

习题 153

第6章 常微分方程初值问题的数值解法 155

6.1欧拉方法 155

6.1.1欧拉折线法 155

6.1.2欧拉方法的改进 158

6.2龙格—库塔方法 163

6.3阿达姆斯公式 169

6.3.1阿达姆斯外推公式 169

6.3.2阿达姆斯内插公式 171

6.3.3求开头三个点函数值的方法 173

6.4微分方程组及高阶微分方程 176

6.4.1一阶微分方程组 176

6.4.2高阶微分方程 178

本章小节 182

习题 182

第7章矩阵的特征值与特征向量的计算 184

7.1.1幂法 185

7.1幂法与反幂法 185

7.1.2反幂法 190

7.2雅可比方法 193

7.3豪斯荷尔德方法 202

7.3.1镜像反射矩阵 202

7.3.2实对称矩阵的三对角化 205

7.3.3对称三对角矩阵的特征值计算 207

7.4求矩阵特征值的QR方法 212

7.4.1矩阵A的QR分解 213

7.4.2 QR方法 216

本章小结 217

习题 218

参考文献 220