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目录 1

第一章 经济问题的描述 1

1．经济学中的数学方法 1

1.1． 引言 1

1.2． 运用数学方法的困难 2

1.3． 研究任务的必要的限制 5

1.4． 结束语 6

2．合理行为问题的定性讨论 7

2.1． 合理行为的问题 7

2.2． “鲁滨逊”经济和社会性交换经济 8

2.3． 变量的数目和参加者的数目 10

2.4．参加者很多的情况：自由竞争 11

2.5． “罗圣”理论 13

3．效用概念 13

3.1． 选择和效用 13

3.2． 量度的原则：引言 14

3.3． 概率和效用的数量概念 15

3.4． 量度的原则：详细的讨论 18

3.5． 效用的数量概念的公理化方法的概念结构 21

3.6． 公理及其解释 22

3.7． 关于公理的一般说明 24

3.8． 边际效用概念的作用 26

4．理论的结构：解和行为的标准 27

4.1． 一个参加者的解的最简单概念 27

4.2． 推广至所有的参加者 29

4.3． 作为转归集合的解 30

4.4． “优越”或“控制”的不可传递性的概念 32

4.5． 解的精确定义 34

4.6． 以“行为标准”来解释我们的定义 35

4.7． 竞赛和社会组织 37

4.8． 结束语 38

第二章 策略竞赛的一般描述 40

5．绪论 40

5.1． 重点从经济学转移到竞赛 40

5.2． 分类和讨论程序的一般原则 40

6．简化的竞赛概念 42

6.1． 术语的解释 42

6.2． 竞赛的基本要素 43

6.3． 情报和前备性 44

6.4． 前备性，传递性，信号 45

7．竞赛的完全概念 48

7.1． 每一着的特征的多变性 48

7.2． 一般描述 49

8．集合和分割 53

8.1．用集合论的方法描述竞赛的优点 53

8.2． 集合，它们的性质和图示法 53

8.3． 分割，它们的性质和图示法 55

8.4． 集合与分割在逻辑上的解释 57

*9．竞赛的集合论描述 59

*9.1． 用来描述一个竞赛的分割 59

*9.2． 这些分割及其性质的讨论 62

10.1．公理及其解释 64

10．公理化描述 64

10.2．公理在逻辑上的讨论 66

10.3． 关于公理的一般说明 67

10.4． 图示法 67

11．策略和描述竞赛的最终简化方式 69

11.1． 策略概念及其形式体系化 69

11.2． 竞赛的描述的最终简化 72

11.3． 策略在竞赛的简化形式里的作用 74

11.4． 零和条件的意义 74

12.1． 一般观点 75

12.2． 一人竞赛 75

12．概述 75

第三章 零和二人竞赛：理论 75

12.3． 机会和概率 77

12.4． 下一步的任务 77

13．函项运算 77

13.1． 基本定义 77

13.2． 运算Max和Min 79

13.3． 关于可交换性的问题 81

13.4． 混合情形．鞍点 83

13.5． 主要事实的证明 85

14．严格确定的竞赛 87

14.1． 问题的描述 87

14.3． 辅助竞赛的讨论 89

14.2． 劣势和优势竞赛 89

14.4．结论 93

14.5． 严格确定性的分析 95

14.6． 选手的互换．对称性 97

14.7． 非严格确定的竞赛 98

14.8．细致地分析严格确定性的程序 99

15．具有完全情报的竞赛 100

15.1． 讨论的目的．归纳法 100

15.2． 精确条件（第一步） 102

15.3． 精确条件（整个归纳法） 104

15.4． 归纳法步骤的精确讨论 105

15.5． 归纳法步骤的精确讨论（续） 108

15.6． 完全情报情形下的结果 110

15.7． 对国际象棋的应用 112

15.8．文字的讨论 113

16．线性和凸性 115

16.1． 几何背景 115

16.2． 向量运算 116

16.3． 关于支承超平面的定理 120

16.4． 关于矩阵的定理 123

17．混合策略．一切竞赛的解 127

17.1． 两个初等例子的讨论 127

17.2． 上节观点的一般化 128

17.3． 上述程序应用到单独一局上的可能性 130

17.4． 劣势和优势竞赛（混合策略情形） 132

17.5． 一般严格确定性 133

17.6． 主要定理的证明 135

17.7． 用纯策略和用混合策略处理的比较 137

17.8． 一般严格确定性的分析 139

17.9． 好策略的其它特征 141

17.10．犯错误及其后果．永久最优性 142

17.11．选手的互换．对称性 145

第四章 零和二人竞赛：例子 148

18．一些初等竞赛 148

18.1． 最简单的竞赛 148

18.2． 这些竞赛的详尽的定量讨论 149

18.3．定性的说明 152

18.4． 一些特殊竞赛的讨论（配铜钱的推广形式） 153

18.5． 一些稍复杂些的竞赛的讨论 156

18.6． 机会和不完全情报 159

18.7． 以上结果的解释 161

19．扑克和“偷鸡” 162

19.1． 扑克的描述 162

19.2． “偷鸡” 164

19.3． 扑克的描述（续） 165

19.4． 规则的精确叙述 166

19.5． 策略的描述 167

19.6． 问题的叙述 170

19.7． 从离散的问题转到连续的问题 171

19.8． 解在数学上的确定法 173

19.9．解的详尽分析 177

19.10．解的解释 178

19.12．离散的各手牌 181

19.11．扑克的更一般的形式 181

19.13．m个可能的叫价 182

19.14．轮流叫价 184

19.15．全部解的数学描述 188

19.16．解的解释．结束语 190

第五章 零和三人竞赛 192

20．概述 192

20.1． 一般观点 192

20.2． 合伙 193

21.1． 竞赛的描述 194

21.2． 竞赛的分析：“默契”的必要性 194

21．三人简单多数竞赛 194

21.3． 竞赛的分析：合伙．对称性的作用 196

22．更多的例子 197

22.1． 不对称分配．补偿的必要性 197

22.2． 强弱不同的合伙．讨论 198

22.3． 一个不等式．公式 200

23．一般情形 201

23.1． 详尽的讨论．非本质和本质竞赛 201

23.2．全部公式 202

24．一个反对意见的讨论 204

24.1． 完全情报的情形及其意义 204

24.2． 详尽的讨论．补偿在三个或更多个选手之间的必要性 205

25．特征函数 208

25.1． 主题和定义 208

第六章 零和n人竞赛一般理论 208

25.2． 概念的讨论 209

25.3． 基本性质 210

25.4． 直接推论 211

26．从已知的特征函数构造竞赛 212

26.1． 构造 212

26.2． 总结 214

27．策略等价关系．非本质和本质竞赛 215

27.1． 策略等价关系．简化形式 215

27.2． 不等式．量r 217

27.3． 非本质性和本质性 217

27.4． 各种准则．不可加的效用 218

27.5． 本质情形里的不等式 220

27.6． 特征函数的向量运算 222

28．群、对称性和公平性 223

28.1． 排列、排列群、排列对竞赛的影响 223

28.2． 对称性和公平性 226

29．零和三人竞赛的重新考虑 228

29.1． 定性的讨论 228

29.2． 定量的讨论 229

30．一般定义的精确形式 231

30.1． 定义 231

30.2． 讨论和反复论述 232

30.3． 饱和的概念 233

30.4． 三个问题 237

31.1． 凸部，平值性，判断控制性的一些准则 238

31．直接推论 238

31.2． 所有转归的系统．单元素的解 243

31.3． 对应于策略等价关系的同构 246

32．本质零和三人竞赛全部解的确定 247

32.1． 数学问题的叙述．图示法 247

32.2．全部解的确定 249

33．结束语 251

33.1．解的多重性．差别待遇及其意义 251

33.2． 静态和动态 253

第七章 零和四人竞赛 254

34．概述 254

34.1． 一般观点 254

34.2． 本质零和四人竞赛的形式体系 254

34.3． 选手的排列 256

35．立方体Q中一些特殊的点的讨论 258

35.1． 顶点Ⅰ（以及Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,） 258

35.2． 顶点Ⅷ（以及Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ）．三人竞赛和一个“傀儡” 260

35.3． 关于Q的内部的一些说明 263

36．主对角线的讨论 265

36.1． 邻近顶点Ⅷ的部分：启发式的讨论 265

36.2． 邻近顶点Ⅷ的部分：精确的讨论 268

36.3． 主对角线的其它部分 272

37．中心及其周围 273

37.1． 中心周围的条件的初步测定 273

37.2． 两种可能情形和对称性的作用 275

37.3． 中心处第一种情形 276

37.4． 中心处第二种情形 277

37.6． 不对称的中心解 278

37.5． 两个中心解的比较 278

38．中心的一个邻域的一族解 280

38.1． 属于中心处第一种情形的解的变换 280

38.2． 精确的讨论 281

38.3．解的解释 287

第八章 关于n≥5个参加者的一些说明 289

39．各类竞赛中参数的数目 289

39.1． n=3,4的情形 289

39.2． 所有n≥3的情形 289

40.1． 对称五人竞赛的形式体系 291

40.2． 两个极端情形 291

40．对称五人竞赛 291

40.3． 对称五人竞赛和1,2,3-对称四人竞赛的关系 293

第九章 竞赛的合成与分解 297

41．合成与分解 297

41.1． 能够确定全部解的n人竞赛的寻求 297

41.2． 第一类型．合成与分解 298

41.3． 精确定义 299

41.4． 可分解性的分析 301

41.5． 条件的修改的必要 302

42．理论的修改 303

42.1． 不完全放弃零和条件 303

42.2． 策略等价关系．常和竞赛 303

42.3．新的理论里的特征函数 305

42.4． 新的理论里的转归、控制性和解 307

42.5． 新的理论里的本质性、非本质性和可分解性 308

43．分解的分割 310

43.1． 分裂集合．组成部分 310

43.2． 由全部分裂集合组成的系统的性质 310

43.3． 由全部分裂集合组成的系统的描述．分解的分割 311

43.4． 分解分割的性质 313

44．可分解的竞赛．理论的进一步扩充 315

44.1． （可分解的）竞赛的解和它的组成部分的解 315

44.2． 转归与转归集合的合成和分解 315

44.3．解的合成与分解．主要的可能性与推测 317

44.4． 理论的扩充．外部来源 319

44.5． 过剩额 320

44.6． 过剩额的限制．新的结构中竞赛的非孤立特性 321

44.7． 新的结构E（e0），F（e0）的讨论 322

45．过剩额的限制．扩充的理论的结构 324

45.1． 过剩额的下限 324

45.2． 过剩额的上限．分离和全分离的转归 325

45.3． 两个极限值｜Г｜1，｜Г｜2的讨论．它们的比值 327

45.4． 分离的转归和不同的解．联系E（e0），F（e0）的定理 329

45.5． 定理的证明 331

45.6． 总结和结尾 334

46．在可分解的竞赛中全部解的确定 335

46.1． 分解的初等性质 335

46.2． 分解及分解与解的关系：关于F（e0）的一些初步结果 337

46.3． 续上节 339

46.4． 续上节 341

46.5． F（e0）中全部结果 343

46.6． E（e0）中全部结果 345

46.7． 部分结果的图形表示 347

46.8． 解释：正常地带．各种性质的可传性 348

46.9． 傀儡 349

46.10．竞赛的嵌入 350

46.11．正常地带的意义 353

46.12．转移现象的第一次出现：n=6 354

47．新的理论中的本质三人竞赛 355

47.1． 讨论的必要 355

47.2． 预备性的考虑 355

47.3． 这一讨论中的六种情形．情形（Ⅰ）—（Ⅲ） 357

47.4．情形（Ⅳ）：第一部分 358

47.5．情形（Ⅳ）：第二部分 360

47.6．情形（Ⅴ） 363

47.7．情形（Ⅵ） 365

47.8． 结果的解释：解里的曲线（一维部分） 366

47.9． 续上节：解里的区域（二维部分） 367

第十章 简单竞赛 369

48．获胜和失败的合伙以及出现这些合伙的竞赛 369

48.1． 41.1里的第一类型．取决于合伙 369

48.2． 获胜和失败的合伙 370

49．简单竞赛特征的表述 372

49.1． 获胜和失败的合伙的一般概念 372

49.2． 单元素集合的特殊作用 374

49.3． 真实的竞赛中系统W,L的特征的表述 375

49.4． 简单性的精确定义 377

49.5． 简单性的一些初等性质 377

49.6． 简单竞赛和它们的W,L．最小获胜合伙：Wm 378

49.7． 简单竞赛的解 379

50．多数竞赛和主要的解 380

50.1． 简单竞赛的例：多数竞赛 380

50.2． 齐性 382

50.3． 直接应用转归概念形成竞赛的解 383

50.4． 关于这一直接方法的讨论 384

50.5． 与一般理论的关系．精确描述 386

50.6． 结果的重新表述 388

50.7． 结果的解释 390

50.8． 与齐性多数竞赛的关系 391

51．枚举全部简单竞赛的方法 393

51.1． 初步的说明 393

51.2． 饱和法：利用W的枚举法 393

51.3． 从W转到Wm的理由．采用Wm的困难 395

51.4． 另一种方法：利用Wm的枚举法 397

51.5． 简单性和分解 400

51.6． 非本质性、简单性与合成．过剩额的处理 401

51.7． 以Wm表可分解性的判断准则 402

52．n值较小时的简单竞赛 405

52.1． 讨论程序：n=1,2无须讨论．n=3的解决 405

52.2． n≥4时的程序：二元素集合及其在Wm的分类中的作用 405

52.3．情形C*,Cn-2,Cn-1的可分解性 407

52.4． [1,…,1,l-2]h（附有傀儡）以外的简单竞赛：情形Ck,k=0,1,…,n-3 408

52.5． n=4,5的解决 409

53．n≥6时简单竞赛的新的可能性 410

53.1． 对n＜6观察到的规则性 410

53.2． 六个主要的反例（对于n=6,7） 411

54．适当竞赛里的全部解的确定 417

54.1． 在简单竞赛里考虑主要解以外的其它解的理由 417

54.2． 所有的解都为已知的竞赛的列举 418

54.3． 考虑简单竞赛[1,…,1,n-2]k的理由 419

*55．简单竞赛[1,…,1,n-2]k 420

*55.1． 初步的说明 420

*55.2． 控制关系．主导选手．情形（Ⅰ）和（Ⅱ） 420

*55.3． 情形（Ⅰ）的解决 421

*55.4． 情形（Ⅱ）：？的确定 424

*55.5．情形（Ⅱ）：？的确定 426

*55.6． 情形（Ⅱ）：？和S* 429

*55.7．情形（Ⅱ′）和（Ⅱ″）．情形（Ⅱ′）的解决 430

*55.8．情形（Ⅱ″）：？和V′．控制关系 431

*55.9．情形（Ⅱ″）：V′的确定 433

*55.10．情形（Ⅱ″）的解决 437

*55.11．完整结果的重新归述 440

*55.12．结果的解释 441

第十一章 一般非零和竞赛 446

56．理论的扩充 446

56.1． 问题的陈述 446

56.2． 虚设选手．零和扩充？ 447

56.3． 关于？的特性的问题 448

56.4． 应用？的限制 449

56.5． 两种可能的程序 451

56.6． 有差别待遇的解 452

56.7． 各种的可能性 453

56.8． 理论的新的构成 454

56.9． Г为零和竞赛的情形的重新考虑 455

56.10．控制概念的分析 459

56.11．严格的讨论 462

56.12．解的新定义 464

57．特征函数和有关的讨论问题 465

57.1．特征函数：扩充的和限制的形式 465

57.2． 基本性质 465

57.3． 全部特征函数的确定 467

57.4． 选手的可移去集合 469

57.5． 策略等价关系．零和与常和竞赛 471

58．特征函数的解释 474

58.1． 定义的分析 474

58.2． 争取获得和转嫁损失的企图 475

58.3． 讨论 476

59．一般的考察 477

59.1． 程序的讨论 477

59.2． 简化形式．不等式 478

59.3． 几个讨论题目 480

60．n≤3的全部一般竞赛的解 482

60.1．n=1的情形 482

60.2．n=2的情形 483

60.3． n=3的情形 484

60.4． 与零和竞赛的比较 488

61．n=1,2的结果的经济学的解释 488

61.1． n=1的情形 488

61.2． n=2的情形．二人市场 488

61.3． 对二人市场及其特征函数的讨论 490

61.4． 58中所采取的观点的验证 492

61.5． 可分割的商品．“边际对偶” 492

61.6． 价格．讨论 495

62．n=3的结果的经济学的解释：特殊情形 497

62.1． n=3的情形，特殊情形．三人市场 497

62.3． 解：第一种分支情形 498

62.2． 初步讨论 498

62.4． 解：一般形式 501

62.5． 结果的代数形式 502

62.6． 讨论 503

63．n=3的结果的经济学的解释：一般情形 504

63.1． 可分割的商品 504

63.2． 不等式的分析 506

63.3． 初步讨论 508

63.4． 解 508

63.5． 结果的代数形式 510

63.6． 讨论 511

64．一般市场 513

64.1． 问题的陈述 513

64.2． 一些特性．卖方独占和买方独占 515

第十二章 控制关系和解的概念的推广 517

65．推广．特殊情形 517

65.1． 问题的陈述 517

65.2． 一般的说明 518

65.3． 顺序关系，传递性，非循环性 519

65.4． 解：对于对称关系．对于完全顺序关系 521

65.5． 解：对于偏序关系 522

65.6． 非循环性和严格非循环性 524

65.7． 解：对于非循环关系 527

65.8． 解的唯一性，非循环性和严格非循环性 529

65.9． 应用至竞赛：离散性和连续性 531

66.2． 第一阶段的讨论 533

66.1． 普遍化．理论处理的两个阶段 533

66．效用概念的普遍化 533

66.3． 第二阶段的讨论 534

66.4． 统一这两个阶段的愿望 536

67．对一个例子的讨论 537

67.1． 这个例子的描述 537

67.2． 解及其解释 539

67.3． 普遍化：不同的离散效用表 542

67.4． 关于价格磋商的结论 543

附录 效用的公理化 545

A.1． 问题的表述 545

A.2． 由公理所得推论 546

A.3． 结束语 555