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译者序 1

目录 1

第1章　集合论初阶 1

1．集合与集合的运算 1

1.1　集合与子集合 1

1.2　集合的运算 2

编者序 3

2.1　对应与映射 4

2.2　一一映射 4

2．集合之间的对应与集合的映射 4

作者序 5

2.3　集合的等价 5

2.4　集合的分类 5

3．有序集 8

3.1　有序集的概念 8

3.2　排列 9

3.3　置换 11

3.4　选排列 13

3.5　组合 14

3.6　牛顿二项式 15

4．数学归纳法 16

5.1　集合中的二元运算 18

5．具有二元运算的集合 18

5.2　集合的同构 19

5.3　群 19

5.4　环 21

5.5　体 21

6．矩阵、行列式 22

第2章　实数 25

1．自然数 26

1.1　自然数集 26

1.2　自然数集的公理构造 28

1.3　质数、算术基本定理 30

1.5　最小公倍数、最大公约数、欧几里得除法 31

1.4 自然数整除性的某些判别法 31

2．整数 35

2.1　整数集 35

2.2　整数的算术运算 36

3．有理数 39

3.1　有理分数 39

3.2　有理数 43

3.3　整数与有理数 44

3.4 有理数集作为整数集的扩充 45

4．实数 45

4.1 实数集作为有理数集的扩充 45

4.2　实数集的公理构造 46

4.3　把实数表示为十进小数 49

4.4　实数集的几何表示 51

4.5　有理数和无理数的十进表示 52

4.6　数的无理性证明的一些方法 55

4.7　代数数和超越数 58

4.8　幂和方根 59

4.9　对数 61

5．十进小数 62

5.1　十进位计数制 62

5.2　十进小数的概念 63

5.3　有限十进小数的算术运算 66

5.4　有限十进小数化为有理分数 68

5.5　无限循环小数化为有理分数 68

6．连分数 70

7．计算方法 73

7.1　数的近似值与误差 73

7.2　数的近似值的十进表示 75

7.3　数的四舍五入法 77

7.4　切线法（牛顿法） 77

7.5 自然数的平方根的求法 79

第3章　复数 81

1.1　复数集的公理构造 82

1．复数集 82

1.2　有序实数对的集合与复数集 84

2．复数的几何表示与三角形式 86

2.1　复数的几何表示 86

2.2　复数的和与差的几何表示 87

2.3　复数的三角形式 87

3．复数的幂 89

3.1　复数的自然数次幂 89

3.2　复数的n次方根 89

1．一元多项式 91

1.1　多项式的概念、多项式的算术运算 91

第4章　代数学 91

1.2　多项式的因式 93

1.3　多项式的除法、戈尔涅尔模式、贝儒定理 94

1.4　求两个多项式最高公因式的欧几里得除法 96

1.5 多项式的根 98

1.6　乘法的简单公式 98

1.7　韦达公式 99

1.8　代数基本定理 100

1.9 多项式的因式分解 100

1.10　代数基本定理 100

对实系数多项式的一些推广 100

2．多元多项式 101

2.1 多元单项式和多元多项式 101

2.2　多项式项的字典排列法 102

3．有理代数分式 103

3.1　代数分式的算术运算 103

3.2　真代数分式 105

3.3　最简分式 106

3.4　比例 107

4．无理代数式 108

5．方程、代数方程 110

5.1　基本定义 110

5.2　线性方程 112

5.3　二次方程 113

5.4　二项方程 115

5.5　双二次方程 116

5.6　某些可化为二次方程的四次方程 117

5.7　整系数代数方程的解 119

5.8　有理代数方程 120

5.9　无理方程 121

5.10　绝对值号内含有未知数的方程 124

5.11　在复数集中解方程 125

5.12　不定方程 127

6．超越方程 128

6.1　指数方程 128

6.2　对数方程 129

7.1　几个基本定义 131

7．方程组、线性方程组 131

7.2　线性方程组 132

7.3　逐次消元法（高斯法） 133

7.4　两个二元线性方程的方程组 138

7.5　线性方程组的解的几何意义 139

8．非线性代数方程组 142

9．不等式 145

9.1　不等式的定义和基本性质 145

9.2　某些重要的不等式 146

10.1　某些基本定义 148

10．不等式和不等式组的解 148

10.2　一元线性不等式和一元线性不等式组 149

10.3　二次不等式 149

10.4　区间法 151

10.5　解无理不等式 153

10.6　指数不等式 154

10.7　对数不等式 154

10.8　二元不等式解集的几何表示 156

11．证明不等式正确性的方法 162

11.1　利用一连串等价不等式证明不等式的正确性 162

11.2　利用不等式中出现的函数性质证明不等式的正确性 163

式正确性的几种特殊的证法 164

11.3　不等 164

11.4　验证数值不等式正确性的一些方法 166

第5章　坐标法 170

1．坐标系 170

1.1　坐标轴 170

1.2　平面笛卡儿直角坐标系 171

1.3　极坐标系、直角坐标和极坐标之间的关系 174

1.4　空间笛卡儿直角坐标系 174

1.5　平面方程 176

2．向量 176

2.1　向量、基本概念 176

2.2　向量之间的夹角、向量的数量积 182

2.3　平面向量的坐标 183

2.4　空间向量的坐标 184

2.5　向量积 185

2.6　向量的混合（数量-向量）积 186

3．解析几何基础 187

3.1　直线 187

3.2　圆周 189

3.3　椭圆 190

3.4　双曲线 192

3.5　抛物线 194

第6章　几何学 195

1.1　射线 196

1．射线、线段 196

1.2　线段 197

2．平面上的角 198

2.1　角的概念 198

2.2　角度制 199

2.3　弧度制 199

2.4　角的分类 200

2.5　两个方向之间的夹角 200

3．平面上的平行和垂直 200

3.1　平面上的平行 200

3.3　点到直线的距离 202

3.2　平面上的垂直 202

4．空间中的平行和垂直 203

4.1　直线与平面平行 203

4.2　平面的平行 203

4.3　直线与平面垂直 204

4.4　点到平面的距离 204

4.5　平面的垂直 204

4.6　斜线 205

4.7　异面直线 205

5．平面上的投影 205

5.1　平行投影 205

6．空间中的角 206

6.1　斜线和平面的夹角 206

5.2　正投影 206

6.2　二面角 207

6.3　两个平面之间的夹角 207

7．折线、多边形 208

8．三角形 210

8.1　基本性质 210

8.2　三角形的中线 211

8.3　三角形的高 212

8.4　三角形的角平分线 213

8.5　三角形的中位线 213

8.8　直角三角形 214

8.7　等边三角形 214

8.6　等腰三角形 214

9．四边形 215

9.1　平行四边形 215

9.2　菱形 216

9.3　矩形 217

9.4　正方形 217

9.5　梯形 217

10．相似多边形 218

10.1　多边形相似的判定 218

10.2　三角形相似的判定 219

11.1　圆周和圆 220

11．圆周和圆 220

11.2　切线和割线 221

11.3　两圆的相互位置 222

11.4　圆心角和圆弧 223

11.5　圆的弧和弦 223

11.6　与圆有关的角 224

11.7　圆的周长和面积 225

12．多边形和圆 226

12.1 内接多边形和外切多边形 226

12.2　内接三角形 226

12.4　旁切圆 227

12.3　外切三角形 227

12.5　正三角形和直角三角形的边与内切圆半径和外接圆半径之间的关系 228

12.6　圆内接四边形 228

12.7　圆外切四边形 229

13．几何作图 229

13.1　已知直线（已知线段）的平行线和垂线的作法 229

13.2　角的作法 230

13.3　线段的作法 232

13.4　圆和圆弧的作法 235

13.5　圆的切线的作法 237

13.6　多边形的外接圆和圆内接多边形的作法 238

13.7　多边形的内切圆和圆外切多边形的作法 239

13.8　三角形的作法 240

14．多面角 244

15．多面形、多面体 245

16．棱柱 246

17．平行六面体、正方体 247

18．棱锥、棱台 248

19．正多面体 250

20．旋转体 253

21．圆柱 254

22．圆锥、圆台 256

23．球面、球 259

24．球的各个部分 261

24.1　球缺 261

24.2　球扇形 261

24.3　球台 262

24.4　球带 262

25．平面和空间的变换 263

25.1　图形到图形内的映射和图形到图形上的映射 263

25.2　平面和空间的变换 263

25.3　空间和平面的保距变换、图形的全等 264

25.4　绕点的平面旋转 265

25.6　平面轴对称 266

25.5　中心对称和中心对称图形 266

25.7　空间轴对称 267

25.8　关于平面的对称 268

25.9　平面位似 268

25.10　空间位似 269

25.11　平面的相似变换 270

25.12　相似图形 270

26．（希尔伯特的）几何公理体系和不定义的几何概念 271

第7章　三角学 276

1．三角函数 276

1.1　角的概念的推广 276

1.2　三角函数 277

1.3　单位圆的象限、三角函数值的符号 280

1.4　数值变量的三角函数 280

1.5　反三角函数 287

1.6　特殊角的三角函数值 290

2．三角公式 293

2.1　诱导公式 293

2.2　同角的三角函数之间的关系 294

2.3　和角与差角的三角函数 294

2.4　二倍角、三倍角和半角的三角函数 294

2.5　三角函数的和（差）化积（三角表达式化为便于取对数的形式） 296

2.6　三角函数的积化和 298

2.7　反三角函数间的最简关系式 298

3.1　最简三角方程 300

3．三角方程和三角不等式的解 300

3.2　较复杂的三角方程的例子 302

3.3　最简三角不等式的解 306

3.4　求解含反三角函数的方程和不等式的例题 306

4．三角形元素之间的关系 309

4.1　基本公式 309

4.2　三角形元素的计算 310

第8章　极限论 314

1．数列 314

1.1　数列的概念 314

1.2　给出数列的某些方法 315

1.3　数列的项的几何描述 316

1.4　有界数列 317

1.5　单调数列 318

2．数列的极限 319

2.1　数列极限的概念 319

2.2 数列收敛的必要条件 322

2.3　关于数列极限的定理 323

2.4　数列收敛的充分条件 325

2.5　无穷数列收敛的充要条件 331

3．数项级数 331

3.1　数项级数的概念 331

3.2　正项级数 334

3.3　调和级数 335

4．无穷乘积 335

4.1　无穷乘积的概念 335

4.2　无穷乘积与级数的关系 336

5．级数 336

5.1　算术级数 336

5.2　几何级数 337

6．数值函数 338

6.1　数值函数的概念 338

6.2　给出函数的方法 339

6.3　两个函数的和、积、差和商 340

6.4　复合函数（函数的迭加） 341

6.5　偶函数和奇函数 341

6.6　周期函数 343

6.7　有界函数 344

6.8　单调函数 344

6.9　互为反函数 346

7．函数的极限 347

7.1　函数极限的概念 347

7.2　关于函数极限的定理 350

7.3　函数极限存在的充要条件（柯西准则） 352

8.2　无穷小量的比较 353

8.1　无穷小量的概念 353

7.4　某些重要的极限 353

8．无穷小量 353

9．函数的连续性 355

9.1　函数连续的概念 355

9.2　关于连续函数的基本定理 356

9.3　初等函数的连续性 357

第9章　微积分学基础 358

1．导数 358

1.1　导数的概念 358

1.3　导数的物理意义 359

1.4　关于导数的定理 359

1.2　显函数图象的切线方程 359

1.5　初等函数的导数的计算 360

1.6　高阶导数 364

2．原函数、不定积分 365

2.1　原函数和不定积分的概念 365

2.2　积分的最简法则和方法 367

3．定积分 370

3.1　平面图形面积的计算问题 370

3.2　定积分 371

3.3　定积分的性质 372

3.4　定积分作为上限的函数 373

3.5　微积分学基本公式 374

4.1　几个变量之间函数相关的概念 375

4．微分方程 375

4.2　常微分方程的概念 376

4.3　一阶微分方程、用一阶微分方程描述的例题 377

4.4　二阶微分方程、谐振方程 379

第10章　初等函数 382

1．函数的研究 382

1.1　常量函数 382

1.2　函数单调的条件 382

1.3　函数的极大值和极小值 382

1.4　函数的最大值和最小值 385

1.5　曲线凹性的方向 386

2．函数作图 388

3．函数图象的最简变换 390

4．线性函数 393

5．反比例关系 394

6．线性分式函数 395

7．二次函数 396

8．幂函数 399

9．指数函数 400

10．对数函数 400

常用公式表 403

附录：计数制 412

基本符号表 416

索引 420