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第1章 复数 1

1.1 基本知识 1

1.1.1 复数的表示和运算法则 1

1.1.2 开集、闭集和紧集 1

1.1.3 平面集合的复数描述 2

1.1.4 平面上的连续曲线 2

1.1.5 区域 3

1.1.6 Wada Lake：平面上的怪异集合 3

1.2 辐角函数 3

1.2.1 辐角函数的多值性 3

1.2.2 辐角函数的定义：函数Argzo.γ 4

1.3 辐角函数的单值区域 6

1.3.1 充分接近的曲线 7

1.3.2 曲线的同伦 9

1.3.3 Riemann的想法 12

1.4 无穷远点与Riemann球面 12

1.4.1 Riemann球面 12

1.4.2 无穷远点的邻域和C上的开集 13

习题 14

第2章 复变函数 16

2.1 复平面与增广复平面上的连续函数 16

2.1.1 基本定义 16

2.1.2 复线性函数f（z）＝αz 16

2.2 复变函数的导数 18

2.2.1 复变函数导数的定义 18

2.2.2 Cauchy-Riemann方程 18

2.2.3 导数的几何意义 20

2.3 解析性质 21

2.3.1 曲线的切线 21

2.3.2 局部复线性化 22

2.3.3 保形性蕴涵解析性 23

2.4 几类特殊的解析函数 24

2.4.1 多项式函数和有理函数 25

2.4.2 指数函数 26

2.4.3 对数函数 28

2.4.4 幂函数 28

2.5 复合函数的支点以及单值解析分支 30

2.5.1 支点 30

2.5.2 导数等于0 31

习题 32

第3章 复函数的积分 35

3.1 复函数的积分的定义 35

3.1.1 复变量实值函数的积分 35

3.1.2 复函数的曲线积分 35

3.1.3 复曲线积分和实积分的联系 36

3.1.4 两个定义的比较 38

3.1.5 分段光滑曲线 39

3.1.6 一个常用的观察 40

3.2 矩形区域上的Cauchy定理 41

3.2.1 一个不等式 41

3.2.2 解析函数在一点附近的复积分 42

3.2.3 矩形区域上的Cauchy定理 43

3.3 原函数 44

3.3.1 定义和基本性质 44

3.3.2 凸区域上的解析函数 46

3.4 单连通区域上的Cauchy定理 48

3.4.1 定理的证明 48

3.4.2 一般区域上的Cauchy积分定理 49

3.5 同调形式的Cauchy定理 50

3.5.1 简单闭曲线上的Cauchy积分公式 50

3.5.2 一般形式的Cauchy积分定理 51

3.6 Cauchy定理的应用 54

3.6.1 解析函数的可微性 54

3.6.2 Cauchy不等式与Liouville定理 55

3.6.3 Morera定理 56

3.6.4 内闭一致收敛 56

习题 57

第4章 级数 60

4.1 复数项级数 60

4.1.1 基本定义 60

4.1.2 复数项级数的收敛判别准则 60

4.1.3 绝对收敛与复数项级数的Cauchy乘积 60

4.1.4 复函数项级数 61

4.1.5 解析函数项级数的极限 61

4.2 Taylor展式 62

4.2.1 幂级数 62

4.2.2 幂级数表示的唯一性 62

4.2.3 Taylor展式 63

4.2.4 解析函数的唯一性 64

4.3 Laurent展式 65

4.3.1 ∞处的解析函数 65

4.3.2 Riemann球面上只有一点不解析的函数 68

4.4 解析函数在孤立奇点附近的行为 70

4.4.1 孤立奇点的定义 70

4.4.2 可去奇点 70

4.4.3 极点 71

4.4.4 本性奇点 72

4.4.5 ∞作为孤立奇点 72

4.5 复积分理论的应用 74

4.5.1 fp和Lnf的单值解析分支 74

4.5.2 具有有限多个奇点的解析函数的积分 75

4.5.3 极点附近的留数计算 76

4.6 利用留数计算定积分 78

4.6.1 三角函数的积分 78

4.6.2 有理函数的实积分 79

4.6.3 形若Ⅰ＝？f（x）eixdx的积分 81

4.6.4 积分区间内有实可去奇点的积分计算 83

4.7 亚纯函数的零点和极点个数 84

4.7.1 Lnf沿闭曲线的变化 84

4.7.2 分析解释 85

4.7.3 几何解释 87

4.7.4 Rouché定理 88

习题 89

第5章 解析映射 92

5.1 单叶解析函数 92

5.1.1 解析函数的一个局部性质 92

5.1.2 单叶解析函数 93

5.1.3 开映射定理和极大模原理 93

5.1.4 单叶解析函数的逆函数 94

5.2 分式线性变换与C＊上的解析自同构 95

5.2.1 分式线性变换对应的矩阵·特殊线性群SL（2,C） 95

5.2.2 分式线形变换的定义域和值域 96

5.2.3 分式线性变换的保圆性 96

5.2.4 交比 98

5.2.5 分式线性变换τ：H→D 99

5.3 Schwarz引理 100

5.3.1 Schwarz引理 100

5.3.2 开圆盘的解析自同构群Aut（D） 100

5.3.3 复平面C的解析自同构群 102

5.3.4 增广复平面C＊的解析自同构群 102

5.4 Montel定理 103

5.4.1 基本定义 103

5.4.2 Montel定理的证明 103

5.5 Riemann保形映照原理的证明 105

5.5.1 定理的内容及唯一性的证明 105

5.5.2 存在性的证明 106

习题 110

第6章 调和函数 112

6.1 调和函数 112

6.1.1 调和函数的定义及基本性质 112

6.1.2 调和共轭函数 112

6.1.3 均值公式 113

6.1.4 Possion积分公式 114

6.2 Dirichlet问题的解 117

6.2.1 Harnack定理 117

6.2.2 次调和函数 118

6.2.3 Dirichlet问题的解 119

6.2.4 定义集合类B（f） 120

6.2.5 解存在的条件 121

6.2.6 Barrier的存在性 123

习题 124

第7章 解析开拓 126

7.1 Schwarz反射定理 126

7.1.1 对称区域 126

7.1.2 H的解析自同构群 129

7.1.3 一般形式的Schwarz对称原理 129

习题 130

第8章 无穷乘积 131

8.1 级数展开 131

8.1.1 部分积序列 131

8.1.2 无穷乘积与级数的关系 133

8.1.3 无穷乘积的绝对收敛 134

8.2 整函数的无穷乘积展开 134

8.2.1 整函数的零点个数 134

习题 136

第9章 保形映照在边界点的行为 138

9.0.1 简单边界点 138

9.0.2 径向极限 139

9.0.3 保形映照在边界的连续延拓 140

习题 142

附录A Cauchy核与Poisson核 143

A.1 Poisson积分的一些性质 143

A.1.1 进一步考察Poisson核 143

A.1.2 由Poisson积分定义的函数 144

A.2 Cauchy积分和Poisson积分的关系 145

A.2.1 Cauchy核和Poisson核的比较 145

参考文献 148

索引 149