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第1章 函数与模型 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数的概念及其表示法 1

1.1.2 函数的几种特性 6

1.1.3 函数的复合 8

1.1.4 反函数 9

1.1.5 基本初等函数与初等函数 10

习题1.1（A） 15

习题1.1（B） 16

1.2 简单数学模型举例 18

1.2.1 线性函数模型 18

1.2.2 指数函数模型 20

习题1.2（A） 23

习题1.2（B） 24

1.3 经济分析中常用的函数 25

1.3.1 需求函数与供给函数 25

1.3.2 总成本函数、总收益函数和总利润函数 26

习题1.3（A） 27

习题1.3（B） 28

第2章 函数极限与连续 29

2.1 极限 29

2.1.1 数列的极限 29

2.1.2 函数的极限 34

2.1.3 函数的左极限与右极限 38

2.1.4 极限的性质 40

2.1.5 极限的运算法则 41

习题2.1（A） 43

习题2.1（B） 45

2.2 两个重要极限 45

习题2.2（A） 49

习题2.2（B） 50

2.3 无穷小量与无穷大量 50

2.3.1 无穷小量 50

2.3.2 无穷大量 51

2.3.3 无穷小量的阶的比较 52

习题2.3（A） 53

习题2.3（B） 54

2.4 函数的连续性 55

2.4.1 函数的连续性与连续函数 55

2.4.2 函数的间断点 57

2.4.3 闭区间上连续函数的性质 58

习题2.4（A） 60

习题2.4（B） 61

第3章 导数与微分 63

3.1 导数 63

3.1.1 导数概念的引入 63

3.1.2 导数的定义 65

3.1.3 可导与连续的关系 68

3.1.4 导函数定义 70

3.1.5 高阶导数 72

习题3.1（A） 73

习题3.1（B） 74

3.2 求导法则 75

3.2.1 四则运算法则 76

3.2.2 复合函数求导法 79

3.2.3 隐函数求导法 81

3.2.4 由参数方程表示的函数的导数 86

习题3.2（A） 88

习题3.2（B） 89

3.3 微分与线性近似 90

3.3.1 微分的定义 90

3.3.2 线性近似和近似计算 92

习题3.3（A） 93

习题3.3（B） 94

第4章 微分中值定理和导数的应用 95

4.1 微分中值定理 95

4.1.1 罗尔（Rolle）定理 95

4.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 96

4.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 100

习题4.1（A） 101

习题4.1（B） 101

4.2 洛必达法则 102

4.2.1 关于0/0型及∞／∞型不定式的洛必达法则 102

4.2.2 其他类型的不定式的极限 104

习题4.2（A） 108

习题4.2（B） 109

4.3 函数的单调性与函数图形的凸性 110

4.3.1 函数单调性及其判别法 110

4.3.2 函数图形的凸性与曲线的拐点 113

习题4.3（A） 116

习题4.3（B） 117

4.4 极值与优化 118

4.4.1 函数的极值 118

4.4.2 函数的最大、最小值 121

4.4.3 最优化问题 122

习题4.4（A） 124

习题4.4（B） 125

4.5 相关变化率 126

习题4.5（A） 128

习题4.5（B） 128

4.6 导数在经济学中的应用 129

4.6.1 边际与边际分析 129

4.6.2 弹性与弹性分析 131

习题4.6（A） 133

习题4.6（B） 134

第5章 不定积分 136

5.1 不定积分的概念和性质 136

5.1.1 原函数与不定积分 136

5.1.2 不定积分的几何意义 137

5.1.3 不定积分的性质 138

5.1.4 基本积分公式 139

5.1.5 直接积分法 139

习题5.1（A） 141

习题5.1（B） 141

5.2 换元积分法 141

5.2.1 第一类换元积分法 142

习题5.2.1（A） 147

习题5.2.1（B） 148

5.2.2 第二类换元积分法 148

习题5.2.2（A） 152

习题5.2.2（B） 152

5.3 分部积分法 153

习题5.3（A） 156

习题5.3（B） 157

第6章 定积分及其应用 158

6.1 定积分的概念与性质 158

6.1.1 引例 158

6.1.2 定积分的定义 159

6.1.3 定积分的性质 162

习题6.1（A） 164

习题6.1（B） 164

6.2 微积分基本定理 165

6.2.1 积分上限函数及其导数 165

6.2.2 牛顿莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式 167

习题6.2（A） 169

习题6.2（B） 169

6.3 定积分的计算方法 170

6.3.1 定积分的换元积分法 170

6.3.2 定积分的分部积分法 173

习题6.3（A） 176

习题6.3（B） 177

6.4 反常积分 177

6.4.1 无限区间上的反常积分 177

6.4.2 无界函数的反常积分 180

6.4.3 Γ函数 182

习题6.4（A） 182

习题6.4（B） 183

6.5 定积分在几何上的应用 183

6.5.1 元素法 183

6.5.2 平面图形的面积 184

6.5.3 平行截面面积为已知的立体的体积 186

6.5.4 旋转体的体积 187

习题6.5（A） 189

习题6.5（B） 190

6.6 定积分在经济学中的应用 190

6.6.1 由边际函数求总量 190

6.6.2 收入流与支出流的现值和将来值 192

习题6.6（A） 193

习题6.6（B） 193

第7章 微分方程与差分方程 195

7.1 微分方程的基本概念 195

习题7.1（A） 199

习题7.1（B） 199

7.2 变量可分离微分方程与齐次微分方程 199

7.2.1 变量可分离微分方程 200

7.2.2 齐次型微分方程 202

习题7.2（A） 204

习题7.2（B） 205

7.3 一阶线性微分方程 205

习题7.3（A） 208

习题7.3（B） 208

7.4 可降阶的二阶微分方程 209

习题7.4（A） 212

习题7.4（B） 212

7.5 二阶线性微分方程解的结构 213

习题7.5（A） 215

习题7.5（B） 215

7.6 二阶常系数线性微分方程 216

7.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程 216

7.6.2 二阶常系数非齐次线性微分方程 219

习题7.6（A） 222

习题7.6（B） 222

7.7 微分方程建模举例 222

7.7.1 指数增长（衰减）模型 223

7.7.2 阻滞增长模型（Logistic模型） 225

7.7.3 捕食者-被捕食者模型（Lotka-Volterra模型） 227

习题7.7（A） 229

习题7.7（B） 229

7.8 差分与差分方程的概念 230

7.8.1 差分的概念 230

7.8.2 差分方程的概念 232

7.8.3 线性差分方程 232

习题7.8（A） 234

习题7.8（B） 234

7.9 一阶常系数线性差分方程 234

7.9.1 一阶常系数齐次线性差分方程 234

7.9.2 一阶常系数非齐次线性差分方程 236

习题7.9（A） 239

习题7.9（B） 239

7.10 二阶常系数线性差分方程 239

7.10.1 二阶常系数齐次线性差分方程 239

7.10.2 二阶常系数非齐次线性差分方程 241

习题7.10（A） 244

习题7.10（B） 244

7.11 差分方程建模举例 244

7.11.1 分期还贷模型 244

7.11.2 商品价格的蛛网模型 246

7.11.3 萨缪尔森（Samuelson）乘数-加速数模型 248

习题7.11（A） 248

习题7.11（B） 249

第8章 多元函数微分学 250

8.1 空间解析几何简介 250

8.1.1 空间直角坐标系 250

8.1.2 曲面及其方程 251

8.2 多元函数 254

8.2.1 区域 254

8.2.2 多元函数的概念 256

8.2.3 多元函数的极限 260

8.2.4 多元函数的连续性 262

习题8.2（A） 263

习题8.2（B） 264

8.3 偏导数与全微分 264

8.3.1 偏导数的定义及其计算 264

8.3.2 高阶偏导数 269

8.3.3 全微分 270

习题8.3（A） 274

习题8.3（B） 276

8.4 链式法则与隐式求导法 277

8.4.1 链式法则 277

8.4.2 隐式求导法 283

习题8.4（A） 287

习题8.4（B） 288

8.5 多元函数的最优化问题 289

8.5.1 极值与最值 289

8.5.2 条件极值的拉格朗日乘子法 293

习题8.5（A） 297

习题8.5（B） 298

第9章 二重积分 299

9.1 二重积分的概念 299

9.1.1 二重积分的定义 299

9.1.2 二重积分的性质 302

习题9.1（A） 303

习题9.1（B） 304

9.2 二重积分的计算 305

9.2.1 二重积分在直角坐标系下的计算 305

9.2.2 二重积分在极坐标下的计算 310

习题9.2（A） 315

习题9.2（B） 316

第10章 无穷级数与逼近 318

10.1 无穷级数的概念及性质 318

10.1.1 基本概念 318

10.1.2 收敛级数的简单性质 321

习题10.1（A） 323

习题10.1（B） 324

10.2 级数的收敛判别法 325

10.2.1 正项级数收敛的充要条件 325

10.2.2 正项级数的比较判别法 326

10.2.3 交错级数的收敛判别法 328

10.2.4 绝对收敛与比值判别法 329

习题10.2（A） 332

习题10.2（B） 333

10.3 幂级数 334

10.3.1 幂级数及其收敛性 334

10.3.2 幂级数的运算性质 338

习题10.3（A） 341

习题10.3（B） 342

10.4 泰勒级数 342

10.4.1 用多项式逼近函数——泰勒公式 343

10.4.2 泰勒级数 348

10.4.3 函数展开成泰勒级数 349

习题10.4（A） 352

习题10.4（B） 353

附录A Mathematica数学实验 354

实验一 Mathematica的基本操作 354

实验二 图形绘制 359

实验三 极限 362

实验四 导数与偏导数 365

实验五 最优化问题 367

实验六 定积分与重积分 368

实验七 微分方程与差分方程 369

实验八 级数 371

附录B 几种常用曲线的极坐标方程 374

部分习题参考答案 376