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第1章 引言 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 符号说明 1

1.1.2 泛函基础知识 3

1.2 Sobolev空间初步 5

1.2.1 广义导数 5

1.2.2 Sobolev空间的定义 6

1.2.3 嵌入定理 8

1.2.4 迹定理 10

1.2.5 等价模定理 13

1.3 习题 14

第2章 椭圆型方程边值问题 15

2.1 Lax-Milgram定理 15

2.2 变分形式及解的存在唯一性 16

2.2.1 Dirichlet问题 16

2.2.2 Neumann边值问题 18

2.2.3 混合边值问题 20

2.2.4 双调和方程 22

2.3 正则性 23

2.4 习题 24

第3章 椭圆型方程的有限差分方法 26

3.1 有限差分法的基础 26

3.1.1 网格剖分 26

3.1.2 有限差分近似的基本概念 27

3.2 一维两点边值问题的有限差分方法 29

3.3 二维椭圆型方程的有限差分方法 31

3.3.1 Poisson方程的Dirichlet边值问题 31

3.3.2 Poisson方程的Neumann边值问题 36

3.3.3 一般的二阶线性椭圆问题的差分格式 38

3.3.4 双调和问题的差分格式 40

3.4 差分方程解的唯一性和收敛性 40

3.4.1 差分方程解的存在唯一性 41

3.4.2 差分方程解的收敛性 42

3.5 习题 45

第4章 抛物型方程的有限差分方法 47

4.1 一维抛物型方程的有限差分格式 47

4.1.1 一维常系数抛物型方程的Dirichlet初边值问题 48

4.1.2 一维常系数抛物型方程的混合边值问题 52

4.2 差分格式的稳定性和收敛性 54

4.2.1 基本概念 54

4.2.2 判别稳定性的直接法 56

4.2.3 判别稳定性的分离变量法 57

4.2.4 稳定性与收敛性的关系 60

4.3 二维抛物型方程的有限差分格式 61

4.3.1 二维古典差分格式 61

4.3.2 交替方程隐式差分格式 63

4.4 习题 64

第5章 双曲型方程的有限差分法 67

5.1 一维一阶线性双曲型方程的差分格式 67

5.1.1 双曲型方程的初值问题 67

5.1.2 双曲型方程的初边值问题 71

5.2 一维二阶线性双曲型方程的差分方法 73

5.2.1 显示差分格式 73

5.2.2 隐式差分格式 73

5.2.3 初边值条件的离散 74

5.3 二维二阶双曲型方程的有限差分格式 75

5.3.1 显式差分格式 76

5.3.2 交替方向隐式差分格式 77

5.4 习题 78

第6章 椭圆型方程边值问题的有限元法 80

6.1 两点边值问题的有限元法 80

6.1.1 Galerkin方法与Ritz方法 80

6.1.2 两点边值问题的线性有限元方法 86

6.1.3 两点边值问题的线性有限元解的误差估计 97

6.2 两点边值问题的高次有限元方法 102

6.2.1 二次元 102

6.2.2 三次元 103

6.3 二维椭圆问题的有限元方法 105

6.3.1 二维椭圆问题 105

6.3.2 二维椭圆问题的有限元逼近格式 105

6.3.3 数值例子 118

6.4 习题 121

第7章 抛物及双曲方程的有限元方法 124

7.1 抛物型方程的有限元方法 124

7.1.1 半离散有限元逼近 126

7.1.2 全离散有限元逼近 130

7.2 双曲型方程的有限元方法 134

7.2.1 半离散有限元逼近 135

7.2.2 全离散有限元逼近 137

7.3 习题 144

第8章 椭圆问题的混合有限元方法 145

8.1 混合有限元基本理论 145

8.1.1 基本概念 145

8.1.2 混合变分形式 148

8.1.3 Babuska-Brezzi理论 149

8.2 二阶椭圆方程的混合有限元方法 154

8.2.1 线性椭圆方程的混合有限元方法 154

8.2.2 拟线性椭圆方程的混合有限元方法 163

8.2.3 线性椭圆方程的超收敛分析 165

8.2.4 线性椭圆方程的后验误差估计 169

8.3 习题 175

第9章 谱方法 176

9.1 正交多项式 176

9.1.1 正交多项式的定义 176

9.1.2 Gauss型求积公式 177

9.2 Jacobi正交多项式 180

9.3 Legendre正交多项式 183

9.4 Chebyshev正交多项式 185

9.5 谱方法的一般形式 185

9.5.1 变分形式的导出 185

9.5.2 谱逼近的一般形式 188

9.6 Galerkin方法 190

9.6.1 数值格式的导出 190

9.6.2 稳定性和收敛性 191

9.7 配置法 193

9.7.1 数值格式的导出 193

9.7.2 稳定性和收敛性 195

9.8 Volterra型积分方程的谱配置法 200

9.8.1 Volterra积分方程的Legendre谱配置法 200

9.8.2 弱奇性Volterra积分方程的Jacobi谱配置法 202

9.8.3 Volterra积分微分方程的Legendre谱配置法 203

9.9 习题 204

参考文献 207

索引 208

《信息与计算科学丛书》已出版书目 211