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第一章 波动方程 1

1 方程的导出、定解条件 1

1.弦振动方程的导出 1

2.定解条件 4

3.定解问题适定性概念 6

习题 6

2达朗贝尔（d’ Alembert）公式、波的传播 7

1.叠加原理 7

2.弦振动方程的达朗贝尔解法 8

3.传播波 10

4.依赖区间、决定区域和影响区域 10

5.齐次化原理 12

习题 14

3初边值问题的分离变量法 16

1分离变量法 16

2.解的物理意义 19

3.非齐次方程的情形 20

4.非齐次边界条件的情形 21

习题 22

4 高维波动方程的柯西问题 23

1.膜振动方程的导出 23

2.定解条件的提法 26

3.球平均法 27

4.降维法 30

5.非齐次波动方程柯西问题的解 31

习题 33

5波的传播与衰减 33

1.依赖区域、决定区域和影响区域 33

2.惠更斯（Huygens）原理、波的弥散 35

3.波动方程解的衰减 36

习题 37

6能量不等式、波动方程解的唯一性和稳定性 37

1.振动的动能和位能 37

2.初边值问题解的唯一性与稳定性 38

3.柯西问题解的唯一性与稳定性 41

习题 44

第二章 热传导方程 45

1热传导方程及其定解问题的导出 45

1.热传导方程的导出 45

2.定解问题的提法 46

3.扩散方程 48

习题 48

2初边值问题的分离变量法 49

1.一个空间变量的情形 49

2.圆形区域上的热传导问题 52

习题 53

3柯西问题 54

1.傅里叶变换及其基本性质 54

2.热传导方程柯西问题的求解 56

3.解的存在性 58

习题 59

4极值原理、定解问题解的唯一性和稳定性 60

1极值原理 60

2.初边值问题解的唯一性和稳定性 61

3.柯西问题解的唯一性和稳定性 64

习题 65

5解的渐近性态 65

1.初边值问题解的渐近性态 65

2.柯西问题解的渐近性态 66

习题 67

第三章 调和方程 68

1建立方程、定解条件 68

1.方程的导出 68

2.定解条件和定解问题 69

3.变分原理 71

习题 73

2格林公式及其应用 74

1.格林（Green）公式 74

2.平均值定理 77

3.极值原理 77

4.第一边值问题解的唯一性及稳定性 78

习题 79

3格林函数 80

1.格林函数及其性质 80

2.静电源像法 82

3.解的验证 85

4.单连通区域的格林函数 86

5.调和函数的基本性质 87

习题 91

4强极值原理、第二边值问题解的唯一性 91

1.强极值原理 91

2.第二边值问题解的唯一性 93

3.用能量积分法证明边值问题的解的唯一性 94

习题 95

第四章 二阶线性偏微分方程的分类与总结 96

1二阶线性方程的分类 96

1.两个自变量的方程 96

2.两个自变量的二阶线性方程的化简 96

3.方程的分类 99

4.例 100

5.多个自变量的方程的分类 101

习题 102

2二阶线性方程的特征理论 103

1.特征概念 103

2.特征方程 104

3.例 106

习题 107

3三类方程的比较 108

1.线性方程的叠加原理 108

2.解的性质的比较 109

3.定解问题提法的比较 112

习题 115

4先验估计 115

1.椭圆型方程解的最大模估计 116

2.热传导方程解的最大模估计 116

3.双曲型方程解的能量估计 117

4.抛物型方程解的能量估计 120

5.椭圆型方程解的能量估计 121

习题 123

第五章 一阶偏微分方程组 124

1引言 124

1.一阶偏微分方程组的例子 124

2.一阶方程组与高阶方程的关系 126

习题 127

2两个自变量的一阶线性偏微分方程组的特征理论 127

1.特征方程、特征线 128

2.两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类 129

3.将严格双曲型方程组化为对角型 130

习题 132

3两个自变量的线性双曲型方程组的柯西问题 133

1.化为积分方程组 133

2.柯西问题解的存在性与唯一性 134

3.对初始条件的连续依赖性 137

4.依赖区间、决定区域和影响区域 137

5.关于柯西问题提法正确性的附注 138

习题 139

4两个自变量的线性双曲型方程组的其他定解问题 140

1.广义柯西问题 140

2.古尔沙（Goursat）问题 140

3.一般角状区域上的边值问题 141

习题 142

5幂级数解法、柯西-柯瓦列夫斯卡娅（Cauchy-Ковалевская）定理 143

1.幂级数解法 143

2.柯西-柯瓦列夫斯卡娅定理 144

习题 148

第六章 广义解与广义函数解 149

1广义解 149

1.研究广义解的必要性 149

2.强解 149

3.弱解 151

习题 152

2广义函数的概念 152

1.广义函数的物理背景 152

2.广义函数的数学概念 153

3.基本函数空间 154

4.？’（Rn），？（Rn），？’（Rn）广义函数 156

习题 157

3广义函数的性质与运算 158

1.广义函数的极限 158

2.广义函数的导数 159

3.广义函数的乘子 159

4.广义函数的卷积 160

习题 161

4广义函数的傅里叶变换 162

1.？（Rn）上的傅里叶变换 162

2.？’（Rn）上的傅里叶变换 163

习题 165

5基本解 165

1.柯西问题的基本解 165

2.调和方程的基本解 168

3.其他类型的基本解 169

习题 170

第七章 偏微分方程的数值解 171

1调和方程狄利克雷问题的数值解 171

1.有限差分法 171

2.元体平衡法 173

3.有限元素法（里茨（Ritz）法） 176

4.有限元素法（伽辽金（Γалеркнн）法） 178

习题 180

2热传导方程的差分法 180

1.一维热传导方程的显式差分格式 180

2.差分格式的收敛性和稳定性 182

3.隐式格式及其稳定性 184

习题 185

3波动方程的差分法 185

1.波动方程初边值问题的差分格式 185

2.C-F-L条件（Courant-Friedrichs-Lewy条件） 186

习题 188

附录Ⅰ傅里叶级数系数的估计 189

附录Ⅱ张紧薄膜的张力为常值的证明 191

附录Ⅲ特殊函数 193