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第1部分 算术 2

第1章 算术 2

1.1 数的概念、性质和运算 2

1 数的概念 2

2 数的整除 2

3 数的四则运算 3

4 比和比例 3

1.2 应用问题举例 3

1 整数和小数四则运算应用题 3

2 分数与百分数应用题 7

3 简单方程应用题 9

4 比和比例应用题 10

1.3 典型例题 11

第2部分 初等代数 26

第2章 数和代数式 26

2.1 实数和复数 26

1 实数、数轴 26

2 实数的运算 26

3 复数 27

2.2 代数式及其运算 28

1 整式及其加法与乘法 28

2 因式分解 29

3 整式的除法 30

4 分式 31

5 根式 32

2.3 典型例题 33

第3章 集合、映射和函数 36

3.1 集合 36

1 集合的概念 36

2 集合的包含关系 37

3 集合的基本运算 37

3.2 映射和函数 38

1 映射的概念 38

2 函数 39

3 反函数 40

4 函数的单调性、奇偶性和周期性 41

5 幂函数、指数函数和对数函数 42

3.3 典型例题 44

第4章 代数方程和简单的超越方程 48

4.1 概念 48

4.2 一元一次方程 48

4.3 二元一次方程组 48

4.4 一元二次方程的性质 50

1 判别式 50

2 根和系数的关系 50

3 二次函数的图像和一元二次方程的根 50

4.5 解一元代数方程 51

1 配方法 51

2 公式法 52

3 分解因式法 52

4.6 根的范围、方程的变换 53

1 确定根所属的区间 53

2 方程的变换 54

4.7 典型例题 54

第5章 不等式 58

5.1 不等式的概念和性质 58

1 不等式的概念 58

2 不等式的基本性质 58

3 基本的不等式 58

4 解不等式 59

5.2 解含绝对值的不等式 60

5.3 解一元二次不等式 60

5.4 利用函数的性质和图像解不等式 62

5.5 典型例题 63

第6章 数列、数学归纳法 67

6.1 数列的基本概念 67

6.2 等差数列 68

6.3 等比数列 70

6.4 数学归纳法 72

6.5 典型例题 72

第7章 排列、组合、二项式定理和古典概率 77

7.1 排列和组合 77

1 基本概念 77

2 排列数和组合数公式 77

3 例题 78

7.2 二项式定理 80

7.3 古典概率问题 81

1 基本概念 81

2 等可能事件的概率 82

3 互斥事件有一个发生的概率 83

4 相互独立事件同时发生的概率 84

5 独立重复试验 85

7.4 典型例题 85

第3部分 几何与三角 92

第8章 常见几何图形 92

8.1 常见平面几何图形 92

1 三角形 92

2 四边形 93

3 圆和扇形 94

4 平面图形的全等和相似关系 94

8.2 常见空间几何图形 96

1 长方体 96

2 棱柱体和圆柱体 96

3 正棱锥体和正圆锥体 96

4 球 97

8.3 典型例题 98

第9章 三角学的基本知识 108

9.1 三角函数 108

1 角和三角函数 108

2 同角三角函数的关系 109

3 诱导公式 109

4 三角函数的图像和性质 110

9.2 两角和与差的三角函数 111

1 两角和与差公式 111

2 倍角与半角公式 112

9.3 解斜三角形 113

9.4 反三角函数 114

9.5 典型例题 116

第10章 平面解析几何 120

10.1 平面向量 120

1 基本概念 120

2 向量的加法与数乘 120

3 向量的内积 122

4 有向线段的定比分点 122

10.2 直线 123

1 直线的方向向量、倾斜角和斜率 123

2 直线的方程 123

3 两条直线的位置关系 125

10.3 圆 127

10.4 椭圆 128

10.5 双曲线 129

10.6 抛物线 130

10.7 例题 131

10.8 典型例题 131

第4部分 一元函数微积分 138

第11章 极限与连续 138

11.1 函数及其特性 138

1 函数的定义 138

2 函数的特性 138

3 复合函数与初等函数 139

11.2 数列的极限 141

1 数列极限的定义 141

2 数列极限的四则运算 141

11.3 函数的极限 142

1 函数极限的定义 142

2 函数极限的性质 143

3 函数极限的运算法则 143

4 两个重要极限 144

11.4 无穷小量与无穷大量 146

1 无穷小量与无穷大量的定义 146

2 无穷小量与无穷大量的关系 146

3 无穷小量与函数极限的关系 147

4 无穷小量的性质 147

5 无穷小量的比较 147

6 等价无穷小量替换定理 148

11.5 函数的连续性 149

1 连续的定义 149

2 函数间断点及分类 150

3 连续函数的运算法则 150

4 连续函数在闭区间上的性质 150

11.6 典型例题 151

第12章 一元函数微分学 156

12.1 导数的概念 156

1 导数的定义 156

2 导数的几何意义 158

3 可导性与连续性的关系 158

12.2 导数公式与求导法则 159

1 导数公式 159

2 四则运算的求导法则 160

3 复合函数的求导法则 161

12.3 高阶导数 163

12.4 微分 165

1 微分的定义 165

2 微分与导数的关系 165

3 微分的几何意义 165

4 微分基本公式和四则运算法则 165

12.5 中值定理 166

1 罗尔定理 166

2 拉格朗日中值定理 167

12.6 洛必达法则 168

12.7 函数的单调性与极值 171

1 函数单调性的判定法 171

2 函数的极值及判断 171

12.8 函数的最大值、最小值问题 173

12.9 曲线的凹凸、拐点及渐近线 175

1 曲线的凹凸、拐点 175

2 曲线的渐近线 177

12.10 典型例题 177

第13章 一元函数积分学 186

13.1 不定积分的概念和简单的计算 186

1 原函数、不定积分的概念 186

2 不定积分基本计算公式 186

3 不定积分的性质 187

13.2 不定积分的计算方法 188

1 第一类换元法（凑微分法） 188

2 第二类换元法 190

3 分部积分法 192

13.3 定积分的概念及性质 195

1 定积分的概念 195

2 定积分的几何意义 195

3 定积分的性质 196

13.4 微积分基本公式、定积分的计算 198

1 牛顿-莱布尼茨公式 198

2 变量替换法 199

3 分部积分法 199

13.5 定积分的应用 203

13.6 典型例题 204

第5部分 线性代数 216

第14章 行列式 216

14.1 行列式的概念与性质 216

1 行列式的定义 216

2 行列式的性质 217

3 几个特殊的行列式 219

14.2 行列式的计算 220

14.3 典型例题 222

第15章 矩阵 227

15.1 矩阵及其运算 227

1 矩阵的概念 227

2 矩阵的运算 228

3 方阵的行列式 231

4 特殊矩阵 232

15.2 可逆矩阵 233

1 可逆矩阵与逆矩阵的概念 233

2 矩阵可逆的充要条件 233

3 可逆矩阵的性质 234

15.3 矩阵的初等变换 236

1 初等变换 236

2 用初等变换求可逆矩阵的逆矩阵 237

15.4 矩阵的秩 239

1 矩阵的秩的概念 239

2 矩阵的秩的计算 239

3 矩阵运算后秩的变化 240

15.5 典型例题 241

第16章 向量 250

16.1 n维向量 250

1 n维向量的定义 250

2 n维向量的线性运算 250

16.2 向量组的线性相关性 252

1 向量的线性组合与线性表出 252

2 向量组的线性相关与线性无关 253

3 其他几个有关的结论 255

16.3 向量组的秩 256

1 向量组的秩和最大线性无关组 256

2 向量组的秩和矩阵的秩的关系 257

16.4 典型例题 259

第17章 线性方程组 266

17.1 线性方程组的基本概念 266

1 非齐次线性方程组 266

2 齐次线性方程组 267

17.2 求解齐次线性方程组 267

1 齐次线性方程组有非零解的条件 267

2 齐次线性方程组解的性质 268

3 齐次线性方程组解的结构、基础解系 268

4 消元法解齐次线性方程组 268

17.3 求解非齐次线性方程组 271

1 非齐次线性方程组有解的条件 271

2 非齐次线性方程组解的性质和结构 271

3 消元法解非齐次线性方程组 272

17.4 典型例题 275

第18章 矩阵的特征值和特征向量 281

18.1 特征值和特征向量的基本概念 281

1 特征值和特征向量的定义 281

2 特征值和特征向量的计算 281

3 特征值和特征向量的性质 283

18.2 矩阵的相似对角化问题 285

1 相似矩阵的定义 285

2 相似矩阵的性质 285

3 矩阵对角化的条件和方法 286

18.3 典型例题 290

2014年GCT数学基础能力测试题 297

2014年GCT数学基础能力测试题答案 302

附录A 初等数学中的一些重要公式 303

附录B 微积分中的一些常用公式 306