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第一章 数学准备 1

1.引言 1

2.微分几何基础 1

（a）正切矢量 2

（b）一次型（或余切矢量，或协变矢量） 4

（c）张量和张量积 6

3.型的微积分 9

（a）外部微分 10

（b）李括号和李微分 12

4.协变微分 15

（a）平行位移和短程线 18

5.曲率型和嘉当结构方程 19

（a）扭率为零时的循环恒等式和比安基恒等式 24

6.度规和由之导出的联络；黎曼几何和爱因斯坦场方程 26

（a）由度规导出的联络 27

（b）克里斯托费尔联络对于黎曼和里奇张量的一些推论 29

（c）爱因斯坦张量 30

（d）外尔张量 31

（e）作为四维流型的时空；标记问题和爱因斯坦场方程 31

7.四次形式 33

（a）四次表示 33

（b）方向导数和里奇旋转系数 35

（c）转换关系和结构常数 37

（d）里奇和比安基恒等式 37

（e）四次形式的推广 38

8.纽曼－彭罗斯形式 39

（a）零基和自旋系数 39

（b）外尔、里奇、黎曼张量的表示 40

（c）转换关系和结构常数 43

（d）里奇恒等式和消元关系 44

（e）比安基恒等式 46

（f）麦克斯韦方程 49

（9）四次变换 51

9.光学标量，彼得罗夫分类，哥尔德伯－萨赫定理 54

（a）光学标量 55

（b）彼得罗夫分类 57

（c）哥尔德伯－萨赫定理 60

文献注释 62

第二章 充分广义的时空 65

10.引言 65

11.定常态轴对称时空和惯性系的拖曳 65

（a）惯性系的拖曳 68

12.所需广义的时空 69

13.结构方程和黎曼张量的分量 72

14.四次标架和旋转系数 80

15.麦克斯韦方程 82

文献注释 83

第三章 史瓦西时空 85

16.引言 85

17.史瓦西度规 85

（a）方程的解 88

（b）克鲁斯卡尔坐标 90

（c）变换到史瓦西坐标 92

18.史瓦西度规的另一种导出 93

19.史瓦西时空的短程线：类时短程线 95

（a）径向短程线 97

（b）束缚轨道（E2＜1） 99

（i）第一类轨道 101

（α）e＝0情形 104

（β）2μ（3＋e）＝1情形 105

（γ）后牛顿近似 106

（ii）第二类轨道 106

（α）e＝0情形 107

（β）2μ（3＋e）＝1情形 108

（iii）虚偏心率轨道 109

（c）开放轨道（E2＞1） 111

（i）第一和第二类轨道 111

（ii）虚偏心率轨道 119

20.史瓦西时空的短程线：零短程线 121

（a）径向短程线 121

（b）临界轨道 123

（i）回避锥 125

（c）第一类短程线 128

（i）P→3M和P/3M》1时ψ∞的渐近行为 130

（d）第二类短程线 131

（e）虚偏心率和碰撞参量小于（3？3）M的轨道 131

21.史瓦西时空的纽曼－彭罗斯形式描述 132

文献注释 134

第四章 史瓦西黑洞的扰动 136

22.引言 136

23.非定常态、轴对称时空的里奇和爱因斯坦张量 136

24.度规扰动 139

（a）轴向扰动 139

（b）极向扰动 142

（i）方程组简化为单个一维波动方程 145

（ii）解的完成 147

25.关于与线性微分方程组可简化性相联系的特殊积分的定理 148

（a）方程组（52）一（54）的特定解 153

26.V（＋）与V（-）之间和Z（＋）与Z（-）之间的关系 155

27.反射和透射问题 158

（a）轴向和极向扰动的反射和透射系数的相等性 159

28.一维势散射理论要点和两个势产生相同透射振幅的必要条件 161

（a）约斯特函数及其满足的积分方程 163

（b）lgT（σ）展开为σ-1的幂级数和不同的势产生相同透射振幅的条件 165

（c）对应于势V（±）＝±βf′＋β2f2＋κf的积分等式等级性的直接验证 168

29.通过纽曼－彭罗斯形式处理的扰动 168

（a）已经线性化的方程及其简化 170

（b）方程组（237）—（242）解的完成和影子规范 174

30.变换理论 176

（a）f＝1和β＝常数的变换存在的条件；双重变换 179

（b）支配F的方程的验证以及к和β2的值 181

31.借助于度规扰动对ψ0的直接计算 182

（a）ψ0的轴向部分 183

（b）ψ0的极向部分 185

32.理论的物理含义 186

（a）散射矩阵幺正性的应用 189

33.对扰动理论的一些观察 190

34.史瓦西黑洞的稳定性 192

35.史瓦西黑洞的准正则模式 193

文献注释 194

第五章 雷斯纳－诺兹特朗解 197

36.引言 197

37.雷斯纳－诺兹特朗解 197

（a）麦克斯韦方程的解 198

（b）爱因斯坦方程的解 198

38.时空的性质 201

39.雷斯纳－诺兹特朗度规的另一种导出 205

40.雷斯纳－诺兹特朗时空的短程线 206

（a）零短程线 207

（b）类时短程线 209

（c）带电粒子的运动 214

41.雷斯纳－诺兹特朗时空的纽曼－彭罗斯形式描述 215

42.雷斯纳－诺兹特朗解的度规扰动 216

（a）线性化的麦克斯韦方程 216

（b）里奇张量的扰动 218

（c）轴向扰动 218

（d）极向扰动 221

（i）解的完成 225

43.Vi（＋）与Vi（-）之间和Zi（＋）与Zi（-）之间的关系 225

44.通过纽曼－彭罗斯形式处理的扰动 227

（a）已经线性化的麦克斯韦方程 227

（b）“影子”规范 229

（c）基本方程 230

（d）变量的分离和方程的解耦及简化 231

45.变换理论 234

（a）双重变换的可接受性 235

（b）Y±i和X＋j的渐近行为 237

46.借助于度规扰动对外尔和麦克斯韦标量的直接计算 238

（a）麦克斯韦标量φ0和φ2 240

47.反射和透射问题；散射矩阵 242

（a）麦克斯韦场的能量－动量张量和电磁能量流 245

（b）散射矩阵 246

48.雷斯纳－诺兹特朗黑洞的准正则模式 248

49.关于雷斯纳－诺兹特朗时空稳定性的考虑 249

50.对静态黑洞解的一些综合观察 256

文献注释 257

第六章 克尔度规 260

51.引言 260

52.支配定常态轴对称真空时空的方程 260

（a）共轭度规 264

（b）帕帕培特罗变换 264

53.规范的选择和方程向标准形式的简化 265

（a）支配X和Y的方程的一些性质 269

（b）方程的替代形式 269

（c）恩斯特方程 271

54.克尔度规的推导 273

（a）黎曼张量的四次分量 276

55.克尔度规的唯一性；罗宾逊和卡特的定理 278

56.克尔时空的纽曼－彭罗斯形式描述 285

57.度规的克尔－席尔德形式 288

（a）将克尔度规表示为克尔－席尔德形式 292

58.克尔时空的性质 294

（a）能层 301

文献注释 302

第七章 克尔时空的短程线 305

59.引言 305

60.D型时空中短程线运动积分的定理 305

61.赤道面上的短程线 313

（a）零短程线 314

（b）类时短程线 318

（i）L＝aE的特别情形 318

（ii）圆形的和相关的轨道 319

62.短程线运动的一般方程和哈密顿－雅可比方程的可分离性 327

（a）哈密顿－雅可比方程的可分离性和基本方程的另一种导出 329

63.零短程线 332

（a）θ运动 332

（i）η＞0 333

（ii）η＝0 333

（iii）η＜0 334

（b）主零迭合 334

（c）r运动 335

（d）a＝M情形 341

（e）偏振方向沿零短程线的传播 341

64.类时短程线 345

（a）θ运动 345

（b）r运动 346

65.彭罗斯过程 349

（a）原初彭罗斯过程 350

（b）瓦尔德不等式 352

（c）巴丁－珀勒斯－楚科尔斯基不等式 354

（d）可逆的能量提取 356

66.a2＞M2时的短程线 357

（a）零短程线 358

（b）类时短程线 358

（c）对因果律的违反 359

文献注释 361

第八章 克尔几何中的电磁波 364

67.引言 364

68.定义和引理 365

69.麦克斯韦方程：简化和可分离性 366

（a）对φ0和φ2的方程的简化和可分离性 367

70.楚科尔斯基－斯塔罗宾斯基等式 368

71.解的完成 374

（a）对φ1的解 375

（b）等式（80）的验证 376

（c）对矢量势的解 377

72.楚科尔斯基方程到标准形式的变换 379

（a）r＊（r）关系 381

73.一般变换理论和向一维波动方程的简化 382

74.入射电磁波的势垒 385

（a） Z（＋σ＋）与Z（-σ＋）的区别 387

（b）解的渐近行为 389

75.反射和透射问题 391

（a）σ＋＞σ＋c（＝-a/m）和α2＞0的情形 391

（b）σ＋s＜σ＋＜σ＋c情形 392

（c）0≤σ＋＜＋s情形 393

76.进一步放大和物理解释 397

（a）幺正性的应用 400

（b）无穷远处和事件视界上辐射流的直接计算 401

（c）进一步放大 405

77.对理论的一些综合观察 406

文献注释 408

第九章 克尔黑洞的引力扰动 410

78.引言 410

79.支配外尔标量ψ0、ψ1、ψ3和ψ4的方程的简化和解耦 411

80.规范的选择和自旋系数κ、σ、λ、ν的解 414

（a）影子规范 414

81.楚科尔斯基－斯塔罗宾斯基等式 416

（a）有用公式汇集 421

（b）括号标记 422

82.度规扰动；问题的表述 422

（a）基矢扰动的矩阵表示 423

（b）度规系数的扰动 424

（c）须确定的量、可用的方程和具有的规范自由度的列举 425

83.剩余比安基恒等式的线性化 426

84.转换关系的线性化；三组方程 427

85.Ⅰ组的简化 431

86.Ⅱ组的简化；可积条件 432

87.可积条件的解 435

88.ψ的可分离性和函数R、Y 441

（a）用楚科尔斯基函数表示R和Y 442

89.Ⅱ组简化的完成和R、Y满足的微分方程 444

90.四个线性化的里奇恒等式 447

91.方程（209）和（210）的解 449

（a）方程（233）—（236）的简化 451

（b）可积条件 454

92.Z1和Z2的明晰解 455

（a）Z1和Z2解的确定 458

（b）方程（211）和（212）的进一步应用 459

93.解的完成 460

94.积分等式 462

（a）由可积条件（263）导出的进一步等式 464

95.回顾 471

96.史瓦西极限a→0时解的形式 474

97.变换理论和入射引力波的势垒 476

（a）一个明晰解 477

（b）Z（＋σ＋）与Z（-σ＋）的区别 479

（c）势的性质 480

（d）属于不同势的解之间的关系 485

（e）解的渐近行为 487

98.反射和透射问题 487

（a）用附有适当边界条件的楚科尔斯基方程的解表示R和T 490

（b）无穷远处辐射流的直接计算 493

（c）穿过事件视界的能量流 496

（d）霍金－哈特尔公式 498

99.克尔黑洞的准正则模式 500

100.最后的观察 501

文献注释 501

第十章 克尔几何中自旋为1/2的粒子 503

101.引言 503

102.旋量分析和纽曼－彭罗斯形式的旋量基 503

（a）用旋量表示矢量和张量 507

（b）彭罗斯用“旗”作为旋量ξA的图画表示 509

（c）并矢形式 510

（d）旋量场的协变导数和自旋系数 512

103.纽曼－彭罗斯形式的狄拉克方程 515

104.克尔几何中的狄拉克方程及其分离 517

105.克尔几何中的中微子波 519

（a）对σ＞σs（＝-am/2Mr＋）的反射和透射问题 521

（b）超辐射的缺失（0＜σ＜σs） 523

106.守恒流和狄拉克方程向一维波动方程形式的简化 524

（a）狄拉克方程简化为一维波动方程形式 525

（b）狄拉克方程在平直空间椭球坐标系中的分离形式 527

107.反射和透射问题 528

（a）朗斯基行列式［Z±，Z＊±］对r的范围r＋＜r＜∞的守恒性 529

（b）穿过事件视界能流的正值性 530

（c）超辐射缺失的量子起因 532

文献注释 532

第十一章 其它解；其它方法 535

108.引言 535

109.支配定常态轴对称时空的爱因斯坦－麦克斯韦方程 535

（a）规范的选择和方程简化为标准形式 538

（b）方程的进一步变换 539

（c）恩斯特方程 540

（d）恩斯特方程的变换性质 542

（e）共轭运算 543

110.克尔－纽曼解：推导和纽曼－彭罗斯形式描述 544

（a）纽曼－彭罗斯形式的克尔－纽曼时空描述 550

111.支配克尔－纽曼时空的耦合电磁－引力扰动的方程 551

112.表示静态黑洞的解 554

（a）黑洞平衡的条件 557

113.表示黑洞集的爱因斯坦－麦克斯韦方程的解 558

（a）场方程的简化 560

（b）玛居姆达－帕帕培特罗解 561

（c）表示黑洞集的解 562

114.变分法和黑洞解的稳定性 566

（a）场方程关于定常态解的线性化；初值方程 572

（b）比安基恒等式 576

（c）剩余场方程的线性化形式 578

（d）支配准定常态变形的方程；卡特定理 579

（e）扰动问题的变分公式 583

（i）变分原理 588

（ii）克尔解对轴对称扰动的稳定性 589

文献注释 590

附录 楚科尔斯基函数及相关函数的表 594

文献注释 606

后记 607

中英对照索引 608