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第一章 函数、极限、连续 1

学习提要 1

考试要求 1

本章知识框架图 2

基础知识讲解 3

一、函数 3

（一）函数的概念及表示法 3

（二）函数的性质 3

（三）常见函数 4

二、极限 5

（一）极限的概念 5

（二）极限的性质 5

（三）极限存在准则 6

（四）极限的四则运算法则 6

（五）两个重要极限 6

（六）无穷小、无穷大 6

三、连续 7

（一）连续的概念 7

（二）间断点 7

（三）连续函数的性质 8

典型例题与方法技巧 8

一、函数 8

题型1——利用函数的概念解题 8

题型2——利用函数的性质解题 8

题型3——常见函数的类型 9

二、极限 10

题型1——数列极限 10

题型2——函数极限 12

题型3——用函数解数列极限 19

题型4——含参数的极限问题 20

三、函数连续性与间断点 21

题型1——函数的连续性 21

题型2——间断点类型的判断 22

本章同步练习题 23

一、选择题 23

二、填空题 25

三、解答题 25

同步练习题答案解析 26

一、选择题 26

二、填空题 28

三、解答题 31

第二章 一元函数微分学 35

学习提要 35

考试要求 35

本章知识框架图 36

基础知识讲解 37

一、导数与微分 37

（一）导数与微分的概念 37

（二）导数的几何意义与物理意义 37

（三）导数的计算 38

（四）连续、可导与可微的关系 40

（五）一阶微分形式的不变性 40

二、微分中值定理 40

（一）罗尔定理 40

（二）拉格朗日中值定理 40

（三）柯西中值定理 41

（四）泰勒中值定理 41

三、导数的应用 41

（一）洛必达法则 41

（二）判断函数单调性 42

（三）函数的极值与最值 42

（四）曲线凹凸性、拐点及渐近线 43

（五）函数图形的描绘 43

（六）方程的根 44

（七）几何应用 44

典型例题与方法技巧 46

一、导数与微分 46

题型1——导数概念的直接应用 46

题型2——导数的计算 49

题型3——高阶导数的计算 53

题型4——导数与连续的关系 56

二、微分中值定理 57

题型1——罗尔定理 57

题型2——拉格朗日中值定理 58

题型3——柯西中值定理 59

题型4——泰勒中值定理 60

三、简单的应用 60

题型1——洛必达法则的应用 60

题型2——判断函数的单调性 61

题型3——求函数的极值与最值 62

题型4——曲线凹凸性、拐点及渐近线 63

题型5——方程的根 66

题型6——不等式证明 67

题型7——几何应用 69

本章同步练习题 71

一、选择题 71

二、填空题 72

三、解答题 72

同步练习题答案解析 73

一、选择题 73

二、填空题 75

三、解答题 77

第三章 一元函数积分学 83

学习提要 83

考试要求 83

本章知识框架图 84

基础知识讲解 85

一、不定积分 85

（一）原函数和不定积分的概念 85

（二）不定积分的性质 85

（三）不定积分的计算 85

二、定积分 88

（一）定积分的概念 88

（二）定积分的性质 89

（三）积分上限的函数 90

（四）定积分的计算 90

（五）定积分的应用 91

三、反常积分 93

（一）无穷限的反常积分 93

（二）瑕积分 94

典型例题与方法技巧 94

一、不定积分 94

题型1——原函数与不定积分的概念及性质 94

题型2——不定积分的计算 96

二、定积分 103

题型1——定积分的概念及性质 103

题型2——定积分的计算 105

题型3——变限积分 108

题型4——定积分的应用 110

三、反常积分 116

题型1——无穷限的反常积分 116

题型2——瑕积分 117

本章同步练习题 118

一、选择题 118

二、填空题 119

三、解答题 120

同步练习题答案解析 121

一、选择题 121

二、填空题 123

三、解答题 125

第四章 向量代数和空间解析几何（数一） 131

学习提要 131

考试要求 131

本章知识框架图 132

基础知识讲解 133

一、向量代数 133

（一）空间直角坐标系 133

（二）向量的相关概念 133

（三）向量的运算 134

（四）向量的关系 135

二、空间平面与直线 135

（一）平面方程 135

（二）空间直线方程 136

（三）平面与直线的位置关系 136

（四）平面束方程 137

（五）距离公式 137

三、曲面与空间曲线 138

（一）旋转曲面 138

（二）柱面 138

（三）球面 139

（四）空间曲线 139

典型例题与方法技巧 140

一、向量代数 140

题型1——向量的数量积 140

题型2——向量的向量积 141

题型3——向量的混合积 142

二、空间平面与直线 142

题型1——求空间平面与直线方程 142

题型2——求位置关系 144

题型3——计算空间距离 145

三、曲面与空间曲线 147

题型1——求柱面方程 147

题型2——求旋转曲面方程 148

题型3——求投影曲线方程 148

本章同步练习题 149

一、选择题 149

二、填空题 149

三、解答题 150

同步练习题答案解析 150

一、选择题 150

二、填空题 151

三、解答题 153

第五章 多元函数微分学 155

学习提要 155

考试要求 155

本章知识框架图 156

基础知识讲解 157

一、多元函数的相关概念 157

（一）多元函数的概念 157

（二）二元函数的几何意义 157

（三）二元函数的极限 157

（四）二元函数的连续性 157

（五）有界闭区域上多元函数的性质 157

二、偏导数与全微分 158

（一）偏导数 158

（二）全微分 161

（三）连续、偏导与全微分之间的关系 162

三、多元函数微分学的应用 162

（一）极值与最值 162

（二）几何应用（数一） 164

（三）方向导数与梯度（数一） 164

典型例题与方法技巧 165

一、多元函数的相关概念 165

题型1——二元函数极限的相关问题 165

题型2——二元函数连续性的相关问题 166

二、偏导数与全微分 167

题型1——复合函数偏导与全微分 167

题型2——隐函数偏导与全微分 169

题型3——高阶偏导数 171

题型4——多元函数连续、偏导与全微分之间的关系 172

三、多元函数微分学的应用 175

题型1——极值与最值 175

题型2——几何应用（数一） 178

题型3——方向导数与梯度（数一） 179

本章同步练习题 181

一、选择题 181

二、填空题 182

三、解答题 182

同步练习题答案解析 183

一、选择题 183

二、填空题 185

三、解答题 187

第六章 多元函数积分学 191

学习提要 191

考试要求 191

本章知识框架图 192

基础知识讲解 193

一、二重积分 193

（一）二重积分的概念及性质 193

（二）二重积分的计算 194

（三）二重积分的应用（数一） 194

二、三重积分（数一） 195

（一）三重积分的概念及性质 195

（二）三重积分的计算 196

（三）三重积分的应用 196

三、曲线积分（数一） 197

（一）第一类曲线积分 197

（二）第二类曲线积分 199

（三）两类曲线积分间的关系 200

（四）格林公式与路径无关定理 200

（五）二元函数的全微分 200

四、曲面积分（数一） 201

（一）第一类曲面积分 201

（二）第二类曲面积分 202

（三）两类曲面积分间的关系 203

（四）高斯公式与斯托克斯公式 203

（五）散度与旋度 203

典型例题与方法技巧 204

一、二重积分 204

题型1——二重积分的概念及性质 204

题型2——二重积分的计算 205

题型3——二重积分的应用（数一） 210

二、三重积分（数一） 211

题型1——三重积分的概念及性质 211

题型2——三重积分的计算 212

题型3——三重积分的应用 214

三、曲线积分（数一） 215

题型1——有关第一类曲线积分的计算问题 215

题型2——有关第二类曲线积分的计算问题 216

题型3——两类曲线积分之间的关系 218

题型4——格林公式与路径无关定理 219

题型5——利用二元函数的全微分求积分 222

四、曲面积分（数一） 223

题型1——有关第一类曲面积分的计算问题 223

题型2——有关第二类曲面积分的计算问题 224

题型3——两类曲面积分之间的关系 227

题型4——斯托克斯公式 228

题型5——散度与旋度 229

本章同步练习题 230

一、选择题 230

二、填空题 231

三、解答题 232

同步练习题答案解析 232

一、选择题 232

二、填空题 235

三、解答题 236

第七章 无穷级数（数一） 239

学习提要 239

考试要求 239

本章知识框架图 240

基础知识讲解 241

一、常数项级数 241

（一）数项级数 241

（二）正项级数 241

（三）交错级数 243

（四）常数项级数的性质 243

二、幂级数 244

（一）相关概念及性质 244

（二）幂级数展开 245

（三）幂级数的运算法则 246

三、傅里叶级数 247

（一）傅里叶级数概念 247

（二）狄利克雷收敛定理 247

（三）正弦级数、余弦级数 247

典型例题与方法技巧 247

一、常数项级数 247

题型1——正项级数敛散性判别 247

题型2——交错级数敛散性判别 252

题型3——任意项级数敛散性判别 253

二、幂级数 253

题型1——求幂级数的收敛半径、收敛区间或收敛域 253

题型2——幂级数展开 255

题型3——幂级数求和 258

三、傅里叶级数 261

题型1——收敛定理及相关问题 261

题型2——傅里叶级数展开 262

本章同步练习题 263

一、选择题 263

二、填空题 265

三、解答题 266

同步练习题答案解析 267

一、选择题 267

二、填空题 270

三、解答题 272

第八章 常微分方程 277

学习提要 277

考试要求 277

本章知识框架图 278

基础知识讲解 279

一、几个基本概念 279

（一）微分方程 279

（二）微分方程的阶 279

（三）常微分方程 279

（四）线性微分方程 279

（五）微分方程的解、通解 279

（六）初始条件、特解 279

（七）线性相关、线性无关的概念 279

（八）齐次线性方程与非齐次线性方程 279

二、一阶微分方程求解 280

（一）变量可分离的微分方程 280

（二）齐次微分方程 280

（三）一阶线性微分方程 280

（四）伯努利方程（数一） 281

（五）全微分方程（数一） 281

（六）可用简单的变量代换求解的某些微分方程（数一） 281

三、可降阶的高阶方程求解 281

（一）y（n）＝f（x）型 281

（二）y″＝f（x，y′）型 282

（三）y″＝f（y，y′）型 282

四、高阶线性微分方程 282

（一）线性微分方程解的性质及结构 282

（二）二阶常系数齐次线性微分方程 283

（三）二阶常系数非齐次线性微分方程 283

（四）n阶常系数齐次线性微分方程 283

五、欧拉方程（数一） 284

典型例题与方法技巧 284

一、一阶微分方程 284

题型1——变量可分离的微分方程 284

题型2——齐次方程 285

题型3——一阶线性微分方程 286

题型4——伯努利方程（数一） 288

题型5——全微分方程（数一） 288

二、可降阶的高阶微分方程 289

题型1——y（n）＝f（x） 289

题型2——y″＝f（x，y′） 289

题型3——y″＝f（y，y′） 290

三、高阶线性微分方程 291

题型1——二阶常系数齐次线性微分方程 291

题型2——二阶常系数非齐次线性微分方程 291

题型3——n阶常系数齐次线性微分方程 294

四、欧拉方程（数一） 295

五、常微分方程的应用 295

本章同步练习题 296

一、选择题 296

二、填空题 298

三、解答题 298

同步练习题答案解析 299

一、选择题 299

二、填空题 301

三、解答题 302