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绪论 椭圆曲线及其在密码学中的应用 1

1.引言 1

2.牛顿对曲线的分类 2

3.椭圆曲线与椭圆积分 5

4.椭圆面积的两种求法 9

5.阿贝尔，雅可比，艾森斯坦和黎曼 15

6.椭圆曲线的加法 17

7.椭圆曲线密码体制 21

8.北大数学学院学生眼中的Jacobi 24

9.E.T.贝尔笔下的Jacobi 29

第1章Jacobi定理 47

1.单值解析函数的周期 47

2.Jacobi定理的证明 49

3.西塔函数 52

4.刘维尔定理 54

5.维尔斯特拉斯函数？（u） 58

6.函数？（u）的微分方程 62

7.胡作玄论Jacobi椭圆函数与代数函数论 65

第2章 模函数 89

1.不变式 89

2.模形式 93

3.函数J（T）的基本领域 98

4.模函数J（T） 106

5.第一种椭圆积分的反形 115

6.“代数真理”对“几何幻想”：维尔斯特拉斯对黎曼的回应 117

第3章 维尔斯特拉斯函数 135

1.维尔斯特拉斯函数ζ（u） 135

2.维尔斯特拉斯函数σ（u） 137

3.用函数σ（u）或用函数ζ（u）表示任意的椭圆函数 139

4.维尔斯特拉斯函数的加法定理 142

5.用函数？及？表示各椭圆函数 145

6.椭圆积分 148

7.Jacobi的θ函数是次超越函数 153

第4章 西塔函数 169

1.西塔函数的无穷乘积表示 169

2.西格玛函数与西塔函数的关系 173

3.函数ζ（u）及？（u）的单级数展开式 176

4.量e1，e2，e3用西塔函数零值的表示式表示 177

5.西塔函数的变换 179

6.Jacobi八平方定理的简证 186

第5章Jacobi函数 191

1.Jacobi及黎曼型的第一种椭圆积分 191

2.Jacobi函数 194

3.Jacobi函数的微分法 198

4.Jacobi函数Z（w） 200

5.欧拉定理 202

6.Jacobi定理的第二种及第三种标准椭圆积分 205

7.第一种完全椭圆积分 208

8.第二种完全椭圆积分 217

9.椭圆函数的变态 221

10.单摆 224

11.椭圆函数的性质及其在偏微分方程中的应用 228

第6章 椭圆函数的变换 236

1.椭圆函数变换的问题 236

2.般问题的简化 239

3.第一个主要的一级变换 244

4.第二个主要的一级变换 246

5.朗道变换 248

6.高斯变换 250

7.主要的n级变换 252

8.椭圆积分的一个性质 255

第7章 关于椭圆积分的补充知识 259

1.第一种椭圆积分的一般反演公式 259

2.具有实不变式的函数？（u） 267

3.在实数情形下将椭圆积分化为Jacobi标准型 270

4.完全椭圆积分作为超几何函数 274

5.按给定的模数k计算h 281

6.算术-几何平均值 283

附录Ⅰ椭圆曲线的L-级数，Birch -Swinnerton-Dyer猜想和高斯类数问题 286

1.Q上椭圆曲线 286

2.BSD（ Birch与Swinnerton-Dyer）猜想 289

3.Heegner点 291

4.应用于高斯类数问题 295

5.利用Jacobi椭圆函数法解偏微分方程 301

6.非线性演化方程的双周期解 323

附录Ⅱ什么是椭圆亏格？ 348

1.亏格 348

2.希策布鲁赫的公式 350

3.严格乘性 351

4.椭圆亏格 352

5.模性 353

6.回路空间 353

参考文献 355

编辑手记 358